Теория.
- Приведите пример индуктивного рассуждения.
- Охарактеризуйте сущность дедукции, дедуктивного метода и силлогизма.
- Приведите пример дедуктивного рассуждения.
- Какие существуют виды индукции? Охарактеризуйте эти виды.
- Охарактеризуйте метод математической индукции и сравните его с индукцией и дедукцией.
Пример 1. Доказательство теоремы с использованием силлогизмов: свойства углов равнобедренного треугольника.
Дано: DАВС – равнобедренный: АВ=ВС. Доказать: угол 1 равен углу 2.
Доказательство:
1-й силлогизм. Проведем в треугольнике из вершины В биссектрису ВD.
БП: определение биссектрисы угла.
МП: луч BD – биссектриса угла АВС.
З: Угол третий равен углу четвертому.
2-й силлогизм. БП: первый признак равенства треугольников.
МП: рассмотрим треугольники АВD и DBC: АВ=ВС (по условию), сторона BD – общая (по построению), угол 3=угол 4 (1-й силлогизм).
З: \(\triangle ABD=\triangle DBC\).
3-й силлогизм.
БП: определение равных треугольников.
МП: \(\triangle ABD=\triangle DBC\).
З: \(\angle 1=\angle 2\) .
Примечание: БП – большая посылка, МП – малая посылка, З – заключение.
О методе математической индукции
Метод математической индукции представляет собой важную разновидность дедуктивного метода. В основе метода лежит аксиома математической индукции.
Суть метода математической индукции заключается в следующем.
Пусть доказываемое утверждение проверено в одном частном случае, скажем, при n=1. Представим себе, что мы можем доказать, что из справедливости этого утверждения при n=k всегда следует, что оно верно и для следующего значения n, т.е. при n=k+1. Тогда мы можем рассуждать так: мы проверили наше утверждение при n=1, но по доказанному, оно будет верно тогда и при n=1+1=2, а будучи справедливым при n=2, оно выполняется и при n=2+1=3 и так далее, т.е. справедливо при всех значениях n.
Таким образом, чтобы доказать справедливость некоторого утверждения при любом натуральном n, надо доказать две вещи: во-первых, что оно справедливо при n=1 и, во-вторых, что всякий раз из его справедливости при n=k следует, что оно справедливо при n=k+1. В этом и состоит метод математической индукции: мы доказываем, что наше утверждение справедливо при n=1 (базис индукции), затем предполагаем, что в таком случае оно справедливо для некоторого n=k (предположение индукции), и доказываем, что в таком случае оно справедливо при n=k+1 (индукционный шаг).
Подчеркнем, что метод математической индукции есть метод доказательства уже заданных утверждений, а не выведения этих утверждений.
Пример 2. Применение метода математической индукции:
а) доказать формулу общего члена геометрической прогрессии :
- при n=1 эта формула справедлива;
- предположим, что она справедлива при n=k, т.е. предположим, что имеет место равенство ;
- убедимся в справедливости равенства при n=k+l:
используя определение геометрической прогрессии и предположение индукции, можем записать
,
что и требовалось доказать. Следовательно, формула общего члена геометрической прогрессии верна для любого натурального n;
б) доказать, что если n – натуральное число, то 4n +15n–1 делится на 9;
– при n=1 число 4n+15n–1 равно 18, т.е. делится на 9;
– предположим, что при n=k число 4k+15k–1 делится на 9;
– докажем это утверждение при n=k+l, тогда
.
Но по предположению индукции 4k+15k–l делится на 9, и поэтому правая, а вместе с ней и левая часть этого равенства делятся на 9, что и требовалось доказать.