Для студентов специальностей «математика.информатика», «математика и компьютерные науки» 2019-2020 год
1. Доказать, что если \({M}\) – точка пересечения медиан треугольника, то \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.\]
2. Дана вершина (3,5) равнобедренного треугольника, уравнение его основания \(x-2y+12=0\) и его площадь равна S=15. Составить уравнения боковых сторон.
3. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около эллипса \[{{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}=1.\]
4. Найти наименьшее \(n\in N\), при котором выполняется равенство \[\frac{1}{{{2}^{n}}}{{\left( \begin{matrix}
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3} \\
\end{matrix} \right)}^{n}}=\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\]
5. Найти все целые решения системы: \[\left\{ \begin{align}
& x+{{y}^{2}}+3z=8, \\
& 3x-2{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=-4, \\
& -3x+7{{y}^{2}}+7{{z}^{2}}=32. \\
\end{align} \right.\]
6. Найти предел последовательности: \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{a}_{n-1}}+3}{4} \right),\ {{a}_{0}}=0\).
7. Найти \(\frac{dz}{dx}\) при \(x=-1\) , если \(z={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y\), где \(y(x)\) есть решение уравнения \(1+x+{{y}^{2}}={{e}^{(x+{{y}^{2}})}}\).