Величины в курсе математики

Понятие величины в математике

Величины являются частью содержания многих наук: математики, физики, химии, астрономии, биологии и т. д. Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось бы на описательном уровне. Например, при нагревании тела расширяются – это известно с древних времен. Введение таких величин, как температура и объём, установление зависимости между ними, позволило значительно обогатить знания об этом явлении.

Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины, в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений.

В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины – это не сама реальность, а лишь ее отображение. Тем не менее, практика показывает, что величины, верно отражают свойства окружающей действительности. В самой природе нет сил, скоростей, импульсов и т. д. Величины вводят в ходе познания для описания явлений природы.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Результат измерения выражается числовым значением величины. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека.

Известно, что не каждое свойство объектов мы умеем измерять (например, воля, страх, вкус и т. д.)

Величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, то есть материализовать знания о природе.

Понятие величины впервые появилось в философской литературе и связывалось с действительными числами. Число генетически возникло в процессе счета предметов и измерения величин (длин, площадей, объемов и т.д.). На это обстоятельство указывал еще Аристотель. Предметом изучения математики до XVII века являлись постоянные величины. Позднее, когда встали задачи математического описания процессов и движений в физике и астрономии были введены переменные величины. Даламбер в знаменитой французской энциклопедии (XVIII в.) определяет математику как «науку, изучающую свойства величин, поскольку они перечисляются и измеримы».

Говоря о важности понятия величины для математики, нельзя не вспомнить слова Ф. Энгельса: «Математика – это наука о величинах; она исходит из понятия величины».

Л. Эйлер называл величиной «все то, что способно увеличиваться или уменьшаться».

В процессе своего развития понятие величины подвергалось ряду обобщений. Еще Евклидом в книге «Начала» дано первое обобщение таких конкретных понятий, как «длина отрезка», «площадь», «объем» и т. д. в виде аксиом. Эти аксиомы косвенно определяют величины.

Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величины, или просто числами. Однако, как указывал академик А. Н. Колмагоров, «…более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии…».

Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время. Раскрываемое в математике, оно имеет ясно выраженную прикладную направленность.

Так Н. Я. Виленкин замечает: «Понятие величины является основным, когда речи идет о приложениях математики».

Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.

Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т. е. на описательном уровне, но и оценить их количественно. На примерах использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение в деле формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.

Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о том, что такое величина вообще, каковы ее свойства, виды, каковы роль и место величин в познании природы, что значит величина и как ее измерить, в чем  заключается математическая обработка результатов измерений и т. д. Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения.


<br>Различные подходы к определению скалярной величины

Как отмечалось выше еще в «Началах» Евклида были отчетливо сформулированы свойства величины, называемых теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т. д. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения физических тел или других объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого отрезка меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных фигур по объёму.

В математике существует несколько подходов к понятию величины. В одних случаях величины просто отождествляются с числами. В других, величина определяется как функция с заданными свойствами. В третьих, как множество с некоторой совокупностью свойств. При аксиоматическом подходе, который получил широкое
распространение, скалярная величина определяется косвенно через ту или иную
систему аксиом. Выбор системы может быть различным. Известны аксиоматики
скалярных величин в работах А.Н. Колмогорова, Н.Я. Виленкина и другие
математики. В одних случаях аксиоматика скалярных величин предполагает
известными действительные числа, в других – скалярная величина имеет
самостоятельное определение.

I. Приведем одну из известных аксиоматических
систем положительных скалярных величин.

В пределах системы всех длин, всех площадей, всех объемов
устанавливается отношение неравенства: две величины одного и того же рода (a и b) или совпадают (a=b), или первая меньше второй (a<b) или вторая меньше первой (b<a). Общеизвестно также в случае
длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода
величин смысл операция сложения.

В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение а < b и операция а + b = с обладают следующими свойствами:
— каковы бы ни были а и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или а = b, или а < b, или b<a.
если а<b и b<c, то а<с (транзитивность отношений «меньше», «больше»);
— для любых двух величин а и b существует однозначно определённая величина с = а+b,
а + b = b+ а (коммутативность сложения);
а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативность сложения);
а+b> а (монотонность сложения);
— если а > b, то существует одна и только одна величина c, для которой b + с = а (возможность вычитания);

каковы бы ни были величинаа и натуральное число n,
существует такая величинаb, что nb = a (возможность деления);

каковы бы ни были величиныа и b, существует такое
натуральное число n, чтоа <nb. Это свойство называется
аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. В нём вместе с более элементарными
свойствами (1‒8) основана теория измерения величин, развитая древнегреческими
математиками.

Если взять какую-либо длину l за единичную, то система s’
всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет требованиям (1‒9).

Существование несоизмеримых  отрезков показывает, что система s’ ещё не охватывает системы s всех вообще длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к
требованиям (1‒9) надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности,
например:

если последовательности величин

обладают тем свойством, что

 для любой величиныспри
достаточно большом номере n, то
существует единственная величинах,
которая больше всех

 и меньше всех

.

Таким образом, свойства (1‒10) и определяют полностью
современное понятие системы положительных скалярных величин.

Если в такой системе выбрать какую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные
величины системы однозначно представляются в виде

, где

 − положительное
действительное число.

II.

Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей,
могущих иметь два противоположных направления и такое понятие величины
естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной величины, которое
является основным в механике и физике.Система скалярных величин в этом
понимании включает в себя, кроме положительной величин, нуль и отрицательную
величину. Выбирая в этой системе какую-либо положительную величину l за единицу измерения, выражаем все
остальные величины системы в виде

, где α — действительное число, положительное, отрицательное
или равное нулю.

III.

В более общем смысле слова величинами называют векторы,
тензоры и другие «не скалярные величины». Такие величины можно
складывать, но отношение неравенства для них теряет смысл.

IV.

Так как система действительных положительных чисел
удовлетворяет перечисленным выше аксиомам (1—10), а система всех действительных
чисел обладает всеми свойствами скалярных величин, то вполне закономерно
сами действительные числа называть величинами.

Это особенно принято при рассмотрении переменных величин.
Если какая-либо конкретная величина, например, длина l нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то
меняется и измеряющее её число

 (при постоянной
единице измерения

). Само это меняющееся во времени число х принято называть переменной величиной и говорить, что х принимает в какие-либо
последовательные моменты времени

 «числовые значения»

.

В традиционной математической терминологии говорить о
«переменных числах» не принято. Однако логична такая точка зрения: числа, как и
длины, объёмы и т.п., являются частными случаями величин и, как всякие
величины, могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и
рассмотрение переменных векторов, тензоров и т.п.

После аксиоматического определения положительной скалярной величины необходимо доказать непротиворечивость и полноту этой аксиоматики. Это можно сделать на одном из семинаров.

[свернуть]

Величина в школе

Исторически понятие о действительном числе сформировалось как оценка отношения величин, определяемого в процессе измерения. И число интерпретируется в реальном мире через  величину.

В чистой математике величина не используется, так как всюду подменяется числом. Поэтому не случайно Н. Бурбаки посвящает величине в своем трактате лишь несколько страниц. Величина господствует в физике и других естественных науках.

Геометрия же по отношению к величине занимает особое положение. Действительно, одной стороной она обращена к математике. Здесь ее основной объект исследования ‒ аналитическое пространство и, следовательно, язык ‒ числовой. Но другой стороной геометрия обращена к реальному миру. С этой стороны она выглядит как физическая наука, ее основной объект исследования ‒ реальное физическое пространство, а ее язык ‒ язык величин.

Школьная геометрия ‒ скорее физическая, чем математическая наука. Она представляет собой смесь наблюдений, физических измерений, дедуктивных выводов.

В отношении к величине в школах различных стран царит довольно большое равнодушие: общее понятие величины не фигурирует в школьных учебниках и в них не предпринимается какая-либо попытка абстрагироваться от килограмма, метров, градусов. При метрическом подходе к школьной геометрии сразу говорят о числе как расстоянии, или длине отрезка.

Уместно выяснить, какой из подходов к величине следует считать естественным и приемлемым для школы.

Нельзя не признать,что представление о величине у ученика формируется в процессе многократно повторяемых измерений. Каждое из измерений определяется выбором единичного объекта, а в итоге измерения получаем число.

Таким образом, в рамках любого из подходов к величине независимо от его истолкования, величина задается парой из числа и единичного объекта. Действуя с величинами, сравнивая их, мы всегда пользуемся 5м, 5°, 5кг и т.д. Значит, если рассматривать скалярную величину как бинарное отношение между числами и объектами, то получим возможность непосредственно ассоциировать величину с процессом измерения. Как указывалось выше, в школьном учебнике понятие величины не следует определять.

Различные подходы к понятию скалярной величины позволяют дать некоторое обобщение основных сведений о скалярных величинах, которые следует использовать в практике школьного преподавания математики.

Скалярная величина — элемент множества однородных скалярных величин.

Скалярные величины могут быть разных родов.

Для скалярных величин одного рода вводится операция сложения и отношение порядка.

Скалярная величина имеет числовое значение при выбранной единице измерения. Числовое значение получают в результате измерений.

При измерениях осуществляется взаимно-однозначное отображение множества величин на множество действительных чисел при выбранной единице измерения.

В процессе измерений выявляются следующие свойства величин:

равным величинам соответствуют равные числовые значения величин при одной и той же единице измерения;

числовое значение суммы величин при одной и той же единице измерения равно сумме числовых значений слагаемых величин.

Запись числового значения величины осуществляется с указанием единицы измерения.

Для разнородных величин операция сложения и отношение порядка не определены.

Измерение отрезков

Геометрическая фигура обладает свойством величины, если ей можно сопоставить определяемую тем или иным способом числовую характеристику, и притом так, что эта числовая характеристика подчиняется требованиям инвариантности и аддитивности. Нахождение численного значения данной величины называется измерением этой величины. Еще Архимед указал на недостатки в аксиоматике Евклида и дополнил ее своими аксиомами, связанными с задачами измерения геометрических величин. Мы рассмотрим теорию измерения длин отрезков в аксиоматике Антанасяна Л.С., Вейля Г. и Александрова А.Д.

Измерение отрезков в аксиоматике Л.С. Атанасяна

Понятие длины отрезка.
С помощью наложений вводится понятие равных отрезков и устанавливается для отрезков отношения «больше» и «меньше» без введения понятия длины отрезка, то есть без использования понятия числа.
Формулируется задача измерения отрезков.
Пусть каждому отрезку соответствует определенное положительное число так, что:
Д1 : равным отрезкам соответствует одно и то же число;
Д2: если В – точка, лежащая на отрезке АС, и отрезкам АВ и ВС соответствуют числа а и b , то отрезку АС соответствует число а + b;
Д3: некоторому произвольно выбранному отрезку PQ соответствует число, равное единице.

Тогда число, указанным образом соответствующее каждому
отрезку, называется длиной этого отрезка.

Отрезок PQ называется единицей измерения или единичным
отрезком.

Возникает вопрос: существует ли соответствие между отрезками и вещественными числами, удовлетворяющее условиям
Д1, Д2 и Д3?

Оказывается, что только с помощью аксиом групп I, II, и III (принадлежности, порядка и равенства) невозможно дать
положительный ответ на этот вопрос. Необходимо в качестве аксиомы принять еще
одно предложение, которое назовем аксиомой существования длины отрезка.

[свернуть]

Литература

Список

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л. ,Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1991.
  2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10-11 классов:учебное пособие для учащихся школы с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1992.
  3. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990 г.
  4. Аргунов Б.И.,Балк М.Б. Элементарная геометрия, М.: Просвещение, 1961.
  5. Аргунов Б.И. Учебное пособие по курсу основания геометрии. М.: Учпедгиз,1961.
  6. Антанасян Л.С.,Базалев В.Т. Геометрия, ч. II, М.,Просвещение, 1987г.
  7. Анатасян Л.С и др. Геометрия,учебник для 10-11 классов средней школы, М., Просвещение, 1993г.
  8. Анатасян Л.С., Денисов Н.С.,Силаев В.В. Курс элементарной геометрии Ч. I, Планиметрия,учебное пособие для студентов педагогических университетов и институтов, М., 1992г.
  9. Анатасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев В.В. Курс элементарной геометрии, Ч. II Стереометрия, учебное пособие для педагогических университетов и институтов, М., 1992 г.
  10. Болтянский В.Г., Элементарная геометрия, книга для учителя, М., Просвещение, 1985г.
  11. Гусев В. А., Иванов А.И.,Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе (из опыта работы в школе), М., Просвещение, 1981 г.
  12. Далингер В.А. Равновеликие и равносоставленные плоские и пространственные фигуры,учебное пособие, Омск, 1994г.
  13. Егоров И.П. Геометрия,спецкурс для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, М., Просвещение, 1979г.
  14. Киселев А.П. Элементарная геометрия,книга для учителя, М., Просвещение, 1980г.
  15. Костин В.И. Основания геометрии, Госпедгиз М.-Л. ,1946г.
  16. Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия краткий курс для студентов заочников педагогических институтов ,Учпедгиз , 1959г.
  17. Гераскина, Л. А. В стране невыученных уроков [Текст] / Л. А.Гераскина.- Изд-во Мир Искателя, 2000г.- 160 с.
  18. 3.  Шарыгин, И. Ф. Наглядная геометрия 5-6 классы [Текст] / И. Ф.Шарыгин.- Изд-во Дрофа, 201с.
  19. 4.  Гарднер, Мартин. Лучшие математические игры и головоломки, или самый настоящий математический цирк [Текст] / Мартин Гарднер.- Изд-во Астрель, 2009.-257с.
  20. 1. Александров А.Д. Основания геометрии. – М.: Наука,1987.
  21. 2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1984.
  22. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии, ч.1,2. – М., 1997
  23. Аргунов В.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1966.
  24. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, ч.2. – М.: Просвещение,1975.
  25. Бахвалов С.В., Иваницкая В.П. Основания геометрии. – М.: Высшая школа, 1972.
  26. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. – М.:Физматгиз,1956.
  27. Болтянский В.Г. Равносоставленность многоугольников и многогранников//Энциклопедия элементарной математики, т.V. – М.: Наука, 1966.
  28. Болтянский В.Г. Длина кривой и площадь поверхности//Энциклопедия элементарной математики, т.V. – М.: Наука, 1966.
  29. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1985.
  30. Бончковский Р.Н. Площади и объемы. – М., 1937.
  31. Иванов Л. Д. Что такое площадь//Математика в школе. – 1997.- ,№ 6.
  32. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия. – М.: Наука, 1987.
  33. Колмогоров А.Н. Величина и её измерение//Математика – наука и профессия. Библиотечка «Квант», вып.64. – М.: Наука, 1988.
  34. Лебег Г.Об измерении величин. – М. 1938.
  35. 16. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. – М.: Просвещение, 1987.
  36. Рабинович В.Л. Об изучении измерения объемов//Математика в школе – 1974. — № 4.
  37. Рохлин В.А. Площадь и объем//Энциклопедия элементарной математики, т. V. – М.: Наука, 1966.
  38. .Фридман Л.М. Величины и числа. – М.: Флинта, 2000.
  39. . Хадвигер Г. Лекции об объеме,
  40.  Локшин А.А. Что такое величина? А.А. Локшин, В.Ф. Сибаева. – М.: Вузовская книга, 2006. – 80 с.
  41.  Мир математики: в 45 т. Т.38: Иоланда Гевара, Карлес Пюнг. Измерение мира. Календари, меры длины и математика. / Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 160 с.
  42.  Мир математики: в 45 т. Т.41: Густаво Пиньейро. Шар бесконечного объема. Парадоксы измерения / Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.
  43. Смирнова И.М. Геометрические задачи с практическим содержанием / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: МЦНМО, 2010. – 136 с
  44. Толстопятов В.П. Геометрические величины: методическая разработка / Урал. Го. Пед. Ун-т: Сост. В.П. Толстопятов. – Екатеренбург, 2005. – 22 с.[

 [

[свернуть]

Вернуться к содержанию