Психология математического образования представляет собой наиболее сложный раздел математического образования. К сожалению, несмотря на интенсивное развитие психологической науки, исследований, посвященных вопросам психологии математического образования, практически нет.
Рекомендуем два исследования, в которых описывается связь между психологий учащегося и методикой преподавания математики.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей. М. Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЕК», 1998. 416 с.
А.В. Крутецким и его коллегами впервые был проведен широкомасшабный эксперимент по исследованию математических способностей школьников. Анализ отечественных и зарубежных работ того времени показал, что несмотря на многочисленный интерес исследователей по всему миру обоснованного и упорядоченного понимания сущности математических способностей достигнуто не было [72].
«В отличии от своих предшественников В.А. Крутецкий приступил к изучению математических способностей школьников, основываясь на аргументированной гипотезе об их основных компонентах. В соответствии с исходной гипотезой была разработана большая система из 26 диагностических задач на арифметическом, геометрическом, алгебраическом и общематематическом материале» [с. 12].
Для выявления
особенностей восприятия логико-математических отношений В.А. Крутецкий
использовал задачи с отсутвующим вопросом, задачи с неполным составом условия,
задачи с избыточным составом условий. Оказалось, что показатели решения этих
трех типов задач в группе способных к математике школьников высоко коррелировали
между собой, что было объяснено как способность к формализованному восприятию
функциональных связей задачи, «очищенных» от конкретных значений.
В книге В.А. Крутецкого представлена обширная система полученных им экспериментальных результатов, показано, что самой главной чертой математического мышления является способность мыслить логико-математическими структурами, схемами математических отношений, отвлеченными от их конкретного «чувственно-наглядного» воплощения, так сказать чистыми структурами отношений [с. 13].
У способных к
математике учеников структура задачи четко вычленяется из ее условий и
конкретных данных. Более того, выяснилось, что спустя час после решения,
способные к математике в 95,7 % случаев помнили типовые признаки задач, схемы
рассуждений, основные линии рассуждений, логические схемы [75, с. 16].
Вот, что писал В.А. Крутецкий о своих исследованиях «Мозг некоторых людей своеобразно ориентирован на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных отношений и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющую математическую характеристику, связи образуются относительно быстро и легко» [с. 14].
Представленные в книге В.А. Крутецкого экспериментальные материалы, раскрывающие разные аспекты «настроенности мозга» способных к математике школьников, служат ориентиром для определения, развития и совершенствования математических способностей школьников.
Холодная М.А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования. СПб.: Питер, 2002. 272 с.
В монографии М.А. Холодная, обобщая исторический опыт представлений об интеллекте, делает вывод, что интеллект – это форма ментального опыта. Важность ее исследований в том, что учителя понимают на развитие каких именно ментальных структур направлен процесс обучения математике и, с другой стороны, какие именно ментальные структуры препятствуют процессу изучения математики.
Интеллект
развивающего ребенка, для методики обучения математике, является ключевой темой,
как с точки зрения его развития, так и с точки зрения его состава и строения для
усвоения математических знаний.
М.А. Холодная определяет интеллект так: «особую форму организации индивидуального ментального (умственного) опыта в виде наличных ментальных структур, порождаемого ими ментального пространства отражения и строящихся в рамках этого пространства ментальных репрезентаций происходящего». Другими словами, интеллект человека представляет собой удивительную конструкцию из знаний и умений, приобретённые в процессе непосредственных переживаний, впечатлений, наблюдений, практических действий, т.е. всего того, что он к настоящему моменту чувствовал, анализировал, воспринимал.
М.А. Холодная
пришла к выводу, что существуют три уровня организации ментального опыта, когнитивный,
метакогнитивный и интенциональный опыт, которые определяют свойства
индивидуального интеллекта (то есть
конкретные проявления интеллектуальной деятельности в виде тех или иных
интеллектуальных способностей, характеризующих продуктивность и индивидуальное
своеобразие интеллектуальной деятельности субъекта).
В зависимости
от особенностей состава и строения этих форм опыта можно наблюдать и измерять
конвергентные способности (решение
нормативных задач в регламентированных ситуациях), дивергентные способности
(порождение новых идей на основе
нестандартных способов деятельности), обучаемость (способность к усвоению новых знаний и навыков) и познавательные
стили (способность к
индивидуально-специфическим формам познавательного отражения).
Соответственно
к оценке индивидуального интеллекта следует подходить, одновременно принимая во
внимание четыре аспекта его работы:
• как человек перерабатывает поступающую информацию,
• может ли он контролировать работу своего интеллекта,
• почему именно так и именно об этом он думает,
• как он использует свой интеллект.
Таким образом,
когда речь идет о развивающем потенциале математики, имеется ввиду обогащение
ментального опыта учащихся. В случае проблемы познавательных затруднений
учащихся при изучении математики, в первую очередь надо изучить особенности его
ментального опыта. Именно в восприятии математической информации и ее
переработке скрыты особенности усвоения математики.
Когнитивный опыт – это ментальные структуры,
которые обеспечивают хранение, упорядочение и преобразование наличной и
поступающей информации, способствуя тем самым воспроизведению в психике
познающего субъекта устойчивых, закономерных аспектов его окружения. Их
основное назначение — оперативная переработка текущей информации об актуальном
воздействии на разных уровнях познавательного отражения.
Т.е. при
обучении математике целенаправленно осваиваются разные способы кодирования
информации, происходит дифференциация и интеграция понятийного опыта, а также
формирование общих интеллектуальных умений.
Метакогнитивный
опыт – это
ментальные структуры, позволяющие осуществлять непроизвольную и произвольную
регуляцию интеллектуальной деятельности. Их основное назначение – контроль за
состоянием индивидуальных интеллектуальных ресурсов, а также за процессами
переработки информации. Метакогнитивный опыт учащегося характеризуется знанием
своих индивидуальных интеллектуальных качеств (каковы особенности собственной
памяти, мышления, внимания и т.д.), умением оценивать состояние этих интеллектуальных
качеств в разные периоды времени и умением корректировать интеллектуальное
состояние в соответствии с целями математической деятельности.
Сформированность
непроизвольного интеллектуального контроля проявляет себя в наличии способности
распределять внимание по всем аспектам проблемной ситуации, учитывать контекст
происходящего, тормозить импульсивность при принятии решений в условиях
неопределённости. Сюда же относятся способности планировать свою
интеллектуальную деятельность, предвосхищать последствия своих действий и
возможные изменения ситуации, оценивать отдельные «шаги» в своей
интеллектуальной работе и собственные знания в соответствующей предметной
области.
Интенциональный
опыт – это
ментальные структуры, которые лежат в основе индивидуальных интеллектуальных
склонностей. Их основное назначение – формирование субъективных критериев
выбора относительно определенной предметной области, направления поиска
решения, источников информации и способов ее переработки и т.д. В состав
входят: предпочтения, т.е. индивидуальные склонности к выбору определённой
области, способов ее изучения, убеждения, т.е. совокупность индивидуальных верований
относительно «правильности» определённого взгляда на происходящее. Интенциональный
опыт есть один из мощнейших источников интуиции.
При обучении
решению задач на этапе поиска происходит активная работа интуиции, поэтому есть
объективная необходимость при обучении математике задействовать ментальные
структуры интенционального опыта интеллекта.
Что же
представляет собой интеллект как носитель своих столь многообразных проявлений?
М.А. Холодная полагает, что интеллект – это форма организации индивидуального
ментального (умственного) опыта. Короче говоря, человек умен в той мере, в
какой «внутри» него наличествует ментальный опыт в тех формах
организации, которые обусловливают возможность разумного отношения человека к
происходящему. Особенности состава и строения ментального опыта предопределяют
конкретные свойства интеллекта, которые обнаруживают себя как в характеристиках
индивидуального склада ума и обыденного интеллектуального поведения, так и в
показателях психологического тестирования и экспериментально-психологического
исследования.
Почему один
соображает медленно, но верно, тогда как другой – быстро, но бестолково? Почему
умные, казалось бы, люди ведут себя на редкость глупо? Почему то, что сейчас
большинству кажется логичным, оказывается абсурдным тогда и потом (или не
здесь)? Почему все годами наблюдают одно и то же явление, но только один,
наконец, изумляется и делает великое открытие? Почему ребенок демонстрирует
явное отставание в интеллектуальном развитии, а спустя годы попадает в
категорию интеллектуально одаренных?
Таких
«почему» великое множество, и все они имеют прямое отношение к тем
процессам, которые идут в сфере индивидуального ментального опыта и которые
лежат в основе интеллектуального роста личности (или ее интеллектуальной
деградации).
С учетом предложенной в данной монографии трактовки интеллекта как формы организации ментального опыта – с точки зрения состава и строения наличных ментальных структур, характеристик ментального пространства отражения и своеобразия типа репрезентаций происходящего – критерии развития индивидуального интеллекта следует искать в особенностях индивидуального умозрения (в том, как человек воспринимает, понимает и объясняет происходящее) [с. 238].
Гельфман Э.Г. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. 384 с.
Интересный подход к развитию интеллекта учащихся в условиях математического образования был предложен и реализован в экспериментальной программе «Математика. Психология. Интеллект», суть которой сводится к тому, что для интеллектуального воспитания (М.А. Холодная, Э.Г. Гельфман) должны быть созданы определенные специфические условия и развитие (авторы используют термин «обогащение») интеллекта должно быть целенаправленно.
Интеллектуальное
воспитание – это такая форма организации образовательного процесса, которая
позволяет создать условия для совершенствования интеллектуальных возможностей
каждого ученика на основе обогащения его умственного опыта. В отличие от
интеллектуального развития, которое предполагает целенаправленное формирование
интеллектуальных способностей учащихся как «просто необходимых» для успешной
деятельности, интеллектуальное воспитание направленно на выстраивание
внутренних интеллектуальных ресурсов учащихся (в рамках позиции «каждый человек
умен на свой лад» [79, с. 68]).
Основное
назначение интеллектуального воспитания – помочь ребенку выстроить собственный
ментальный образ мира на основе обогащения его индивидуального ментального
опыта и в конечном счете реализовать присущее ему право быть умным.
Детально
проанализировав педагогические подходы к реализации целей образования, Э.Г.
Гельфман полагает, что на первый план выходит проблема формирования базовых
интеллектуальных качеств личности, таких как компетентность, инициатива,
творчество, саморегуляция и уникальность склада ума [80, с. 73].
Каким образом происходит интеллектуальное воспитание в процессе обучения? Э.Г. Гельфман и М.А. Холодная вводят такой термин как «обогащение», под которым понимается целенаправленное формирование основных компонентов умственного опыта учащихся, лежащих в основе продуктивного интеллектуального поведения, а также рост индивидуального своеобразия склада ума каждого ученика на основе индивидуальных познавательных склонностей.
Локалова Н.П. Школьная неуспеваемость: причины, психокоррекция, психопрофилактика. СПб.: Питер, 200. 368 с.
В работе Н.П. Локаловой рассматривается ряд факторов, влияющих на успешность школьного обучения, излагаются психологические, психофизиологические, психолого-педагогические причины школьной неуспеваемости учащихся начальных, средних и старших классов.
Н.П. Локалова
описывает особенности развития познавательной, мотивационной, эмоциональной,
произвольно-регуляторной сфера у учащихся, имеющих когнитивные трудности в
обучении [81].
Значительное
внимание автор уделяет вопросу психопрофилактике школьной неуспеваемости.
Особенностью
данного учебного пособия является включение в него фрагментов психологических и
педагогических произведений разных авторов с целью более глубокого освещения
соответствующей проблемы.
Определяя
школьную неуспеваемость как несоответствие учебных успехов учащегося
требованиям школьной программы, Н.П. Локалова выделяет три группы факторов,
влияющих на неуспеваемость: нейропсихологические факторы (особенности
морфогенеза и функциогенеза), психолого-педагогические факторы (возраст ребенка
и методическая система обучения учителя), психологические факторы (уровень
умственного развития, психологическая готовность к школьному обучению,
индивидуально-типологические особенности, темперамент).
Особенность
пособия в том, что в нем проведены глубокие научные исследования, описывающие
проблему неуспеваемости с научной точки зрения. Проблема неуспеваемость гораздо
сложнее, чем представления о неуспевающем как о «лентяе», и только комплексный
подход с привлечением специалистов из разных сфер неврологии, психологии и
педагогики может ее решить.
В своей книге
Н.П. Локалова приводит разные типы неуспевающих учащихся. Нам представляется,
что знакомство учителей математики с этими типологиями позволит правильно
оценить учащегося и оказать соответствующую психолого-педагогическую поддержку.
Так, например,
ссылаясь на работы Н.И. Мурачковского, можно выделить три типа неуспевающих по
математике.
Первый тип
неуспевающих по математике характеризуется низким качеством мыслительной
деятельности и положительным отношением к учению.
Второй тип
неуспевающих по математике характеризуется высоким качеством мыслительной
деятельности и отрицательным отношением к математике (или к учителю
математики).
Третий тип неуспевающих школьников – это учащиеся с низким качеством мыслительной деятельности и отрицательным отношением к математике.
Далингер В. А. Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем. М.: Издательство Юрайт, 2019. 338 с.
В замечательной, уникальной книге В.А. Далингера раскрываются теоретические и практические основы обучения учащихся доказательству математических предложений. Раскрыт категориально-понятийный аппарат, относящийся к понятию «теорема», показаны ее различные виды, общие и частные методы доказательства. Детально описана пропедевтическая работа по обучению учащихся доказательству теорем, показана работа учителя по подготовке к уроку, на котором будет доказываться теорема, рассмотрен вопрос об организации деятельности учащихся по «переоткрытию» формулировки теоремы и поиску способов и методов ее доказательства [83].
Актуальность
данного исследования подтверждается формализмом в знаниях учащихся и неумение
осуществлять доказательство теорем и математических утверждений. В.А. Далингер
связывает это неумение учащихся с недостатками в работе педагога. Поэтому,
очень важно, по мнению В.А. Далингера:
– показывать
учащимся роль и значение доказательства в открытии новых знаний;
– разъяснять
школьникам, в чем состоит сущность доказательства как процесса утверждения или
опровержения истинности мыслей;
– проводить
целенаправленную работу по обучению учащихся индуктивным и дедуктивным рассуждениями;
– планомерно
формировать у учащихся умения выводить логические следствия из посылок,
приучать школьников логически верно оформлять свои рассуждения;
– учить школьников обобщать познавательные действия, которые выполняются в ходе доказательства.
Епишева О.Б. Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности. М. Просвещение, 1990. 128 с.
В пособии О.Б. Епишевой и В.И. Крупича «Учить школьников учиться математике» раскрываются особенности рациональной учебной деятельности учащихся в обучении математике.
В
книге описаны основные положения теории учебной деятельности: учебная
деятельность, учебная задача, приемы учебной деятельности и пути их усвоения,
требования к методике обучения приемам учебной деятельности.
Особое
внимание авторы пособия уделяют приемам учебной деятельности по усвоению
математических понятий (описание, демонстрация, конкретизация, приведение
контрпримеров, выведение следствий из определений и т.д.).
Пособие
снабжено большим количеством указаний и примеров, имеющих практическое значение
при организации уроков по математике. Для формирования общеучебных
организационных умений учащихся учитель использует главным образом следующие
приемы: работа с учебником, составление плана ответа по математике, ведение
тетради по математике, организация домашней работы, выполнение письменной
работы по математике, изучение содержания теория или задачи, общий прием
контроля решения задачи.
О.Б. Епишева пишет: «организуя деятельность учащихся по самостоятельному применению приемов в повседневной учебной деятельности, учитель акцентирует внимание на ситуациях, в которых это можно сделать». С этой целью используются обобщающие уроки, практические и лабораторные работы. Самостоятельная учебная деятельность учащихся по изучению материала включает изучение незнакомого текста учебника, самостоятельную формулировку определений понятий и теорем, поиски различных способов доказательства теорем, подготовку докладов, рефератов и сочинений по математике, поиски наиболее рациональных способов решения задач, рассмотрение софизмов, составление задач учащимися.
Финкельштейн В.М. Что делать, когда решить задачу не удается. М.: ИЛЕКСА, 2008. 74 с.
В замечательной, уникальной в своем роде, книге В.М. Финкельштейна собрано много наводящих вопросов, которые помогут учащемуся в поиске решения задач.
– Что делать, когда решить задачу не удается?
– Не отчаиваться, а проявить настойчивость! Основательно
изучить условие задачи, ответив на вопросы: «Какое из условий задачи я не
использовал? Верно ли я понимаю каждое условие и требование? Как можно найти
конечный результат?». Подумать: «Какие формулы, определения, теоремы, аксиомы я
не использовал? Возможно, мне неизвестны какие-то свойства, признаки заданных и
искомых объектов».
– А если и это не помогает?
– Вновь и вновь возвращаться к решению этой задачи.
Чтобы научиться
решать задачи, их нужно решать. Опыт решения учащимися математических задач
позволил педагогам сформулировать четыре группы рекомендаций в соответствии с
основными этапами решения задач.
На примерах автор показывает, как проводить анализ условия задачи, как осуществляется поиск решения задачи, как правильно сделать проверку задачи. В книге приведено много примеров сложных, нестандартных математических задач по разделам арифметики, алгебры, геометрии.
Юрченко Е. В. Живая методика математики. М.: МЦНМО, 2013. 144.
В необычной книге учителя математики сформулированы основные методические принципы методики обучения математике [87].
Принцип
1. Правильная
последовательность изложения материала. Движение от простого, частного, к
общему, более сложному.
Принцип
2.
Необходимо уметь разбивать новую информацию на минимально возможные порции
(кванты) информации и дидактически прорабатывать каждый такой квант.
Принцип
3. Умение
выделять стратегически важный материал и необходимые для дальнейшего обучения
навыки. Они должны отрабатываться на уровне до 100% усвоения.
Принцип
4. Непрерывный
контроль усвоения полученного материала – обратная связь.
Принцип
5. Не
приступай к новому, не вспомнив старого.
Принцип
6. Готовься
к каждому уроку.
Принцип
7. Элементы
дифференцированного обучения – повседневная необходимость.
Принцип
8.
Собственные ошибки и неточности нельзя пытаться скрыть или замолчать, но
необходимо их публично проанализировать.
Принцип
9. Отметка –
не карающий меч правосудия, а один из методических инструментов повышения
эффективности процесса обучения.
Принцип
10. Любой
серьезный рубежный контроль (зачет, экзамен, итоговая контрольная работа по
большой теме) должен быть тщательно подготовлен.
Принцип
11. Выбор
методических приемов должен соответствовать личным качествам учителя.
В книге живым,
увлекательным языком приведены примеры педагогических ситуаций, с которыми
каждый учитель рано или поздно столкнётся в практике своей работы.
Автор делится своим педагогическим опытом и приводит несколько конспектов уроков по наиболее сложным темам школьного курса, таким как: логарифмы и их свойства, тригонометрические функции произвольного действительного числа, методы решения тригонометрических уравнений, понятие предела числовой последовательности и т.д.
Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: Наука, 1976. 448 с.
В популярной книге Д. Пойя приводит обзор методов решения математических задач: двигаясь от рассмотрения частных методов (метода двух геометрических мест, метода Декарта, рекурсии и суперпозиции) к общему методу решения математических задач. В книге Д. Пойя приводит свою классификацию математических задач. Описывает разные пути, приводящие учащегося к «математическому открытию». Особое внимание привлекает глава «Дисциплина ума», в которой приводятся ответы на вопросы: «Как надо думать, Как сконцентрироваться на цели, Как искусно ставить вопросы?». Книга сопровождена большим количеством примеров из курса элементарной и высшей математики.
При обучении решению математических задач, автор приводит десять
заповедей методики обучения математики [88, с. 305]:
- Интересуйтесь своим предметом.
- Знайте свой предмет.
- Знайте, каким путем можно изучить то, что вам необходимо.
- Лучший способ изучить – это открыть самому. Умейте читать по лицам учащихся. Старайтесь увидеть, чего они от вас ждут, понять их затруднения; умейте ставить себя на их место.
- Не ограничивайтесь голой информацией, стремитесь развивать у учащихся определенные навыки, нужный склад ума и привычку к методичной работе.
- Старайтесь научить их догадываться.
- Старайтесь научить их доказывать.
- Выискивайте в вашей задаче то, что может пригодиться при решении других задач – за данной конкретной ситуацией старайтесь обнаружить общий алгоритм, подход.
- Не выдавайте своего секрета сразу – пусть учащиеся попытаются угадать его до того, как вы его им раскроете, – предоставьте учащимся самим найти как можно больше.
- Пользуйтесь наводящими указаниями, но не навязывайте своего мнения насильно.
[свернуть]
Кислякова М. А. Методика рефлексивного обучения решению математических задач: учебно-методическое пособие. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2020. 207 с.
В настоящем учебно-методическом пособии описан рефлексивный подход к обучению решения математических задач.
В первом разделе рассматриваются теоретические основы рефлексивного
обучения математике. Определяется феномен «рефлексии» в психологии,
определяются рефлексивные стратегии учебной математической деятельности.
Описывается педагогический потенциал математических дисциплин в развитии личности
учащегося на всех этапах его обучения. Формулируются принципы рефлексивного
обучения математики и условия их реализации в образовательном процессе.
Раскрывается модель рефлексивного обучения решению математических задач,
включающая в себя педагогические условия, приемы, методы и критерии оценки
эффективности рефлексивного обучения математике.
Во втором разделе рассматривается задачный подход к обучению
математике. Определяются различные подходы к понятию «математическая задача» и
приводится один из вариантов классификации математических задач. Формулируется
«обобщенный алгоритм» решения любой математической задачи и приводится обзор
методов решения математических задач. Поднимается проблема алгоритмизации в
решениях математических задач.
Описываются типичные особенности в решении задач по алгебре и
геометрии, которые проявляются в особенностях поиска в решении математических
задач.
В третьем разделе описываются рефлексивные стратегии решения
математических задач: на этапах анализа условия, поиска решения и осуществление
решения задачи. Приводятся методические приемы обучения самоконтролю при
решении математических задач и способы проверки проведенного решения.
Приведена концепция автора организации педагогической поддержки
учащимся, испытывающим трудности при решении математических задач. Концепция
педагогической поддержки включает в себя разнообразные методики.
Пособие сопровождено большим количеством примеров математических задач с решениями и комментариями автора.
Успенский В.А. Предисловие к математике: Сборник статей. СПб.: ООО «Торгово-издательский дом «Амформа». 2015. 474 с.
В книге, представляющей собой сборник статей знаменитого математика и лингвиста В.А. Успенского, доступным, живым и очень интересным языком раскрываются сложные вопросы математики и ее места в человеческой культуре.
Автор
раскрывает понятия «множество», «кортеж», «соответствие», «функция, отношение».
Дает краткое объяснение аксиоматическому методу, объясняя, что такое аксиомы,
что такое современный подход к аксиоматизации геометрии, аксиомы метрики и
аксиомы меры. Приводит простейшие примеры математических доказательства.
Каждому учителю математики рекомендуется к прочтению семь статей для размышления: Действительно ли в математике все определяется и доказывается? Можно ли определить понятие натурального числа? Что же такое доказательство? Можно ли сделать математику понятной для всех? и т.д. Приведенные книги лишь малая часть всей литературы по математическому образованию. Знакомство с разными подходами, разными авторами позволит учителю смоделировать свою собственную авторскую методическую систему в условиях современного образования.