Логико-математический анализ понятия «Производная функции»
Этап мотивации
Пример № 1. Бак для хранения нефтепродуктов, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?
Пример. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(4{{t}^{3}}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов . За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих
Пример. Мальчик надувает шарик. При радиусе шарика 10 см скорость увеличения радиуса равна 0,1 см/с. Какой объем воздуха ежесекундно выдыхает мальчик
Пример. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t2 +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?
Таким образом, нам необходимо изучить новый математический объект, с помощью которого мы сможем:
— исследовать функции, которые не возможно исследовать с помощью элементарных методов;
— находить функцию скорости движения тела, если известна функция его движения;
— сможем исследовать графики функций с помощью их касательных.
Этап актуализации
- Повторить функции и их свойства
2. Убедиться в том, что понятие «предел функции» усвоен.
Этап введения понятия
Объясняем суть производной функции через графическую иллюстрацию
Производная функции — это ФУНКЦИЯ
Производная функции в точке — это число!!!
Составляем таблицу взаимосвязи функции и ее производной.
Только после понимания вводим строгое определение производной функции
Этап усвоения понятия
Задачи на готовых чертежах
Тип 1. Иллюстрирующих связь функции и ее производной
Задачи на нахождение производной по определению
Этап закрепления
Обучение технике взятия производной функции включает в себя объяснение происхождения формул и формирования устойчивого умения «взятия производной»