п. 7.4. Функциональный метод решения текстовых задач

I.
Анализ условия. По условию задачи, задано два множества – множество девочек в
первом классе и во втором классе. Введем переменную х – столько девочек попало в меньший класс, тогда (25 – х) девочек попало в больший класс.
Речь идет о проценте девочек, т.е. об отношении количества девочек в каждом классе
к общему количеству человек. Необходимо описать сумму этих процентов.

2. Суммарная
доля девочек в двух классах равна

\[f\left( x \right)=\frac{x}{22}+\frac{25-x}{23}\to
f\left( x \right)=\frac{x}{506}+\frac{25}{23},\ \ \ 2\le x\le 22\].

Составленная функция \(f\left( x \right)\) есть линейная возрастающая функция. Своего наибольшего значения она достигает на правом конце промежутка, т.е. при \(x=22\).

Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

\(\left\{ \begin{align}
  & x+y=1 \\
 & 36x\ge 12 \\
 & 30y\ge 12 \\
\end{align} \right.\)

\(S=7000\cdot 36x+10000\cdot 30y\to \max \)
\(\left\{ \begin{align}
& y=1-x, \\
 & x\ge \frac{1}{3}, \\
 & y\ge \frac{2}{5}\to 1-x\ge \frac{2}{5}\to  \\
 & S=6000(42x+50y)=6000(50-8x). \\
\end{align} \right.\)

\(\left\{ \begin{align}
& S=6000(50-8x), \\
 & \frac{1}{3}\le x\le \frac{3}{5}. \\ \end{align} \right.\)

1. Для введения переменных проанализируем условие задачи, и заметим, что неизвестно количество конфет в пакете и общее количество пакетов. Известно лишь то, что существуют два способа «укладки конфет».
2. Введем две переменные и математически опишем все закономерности в условии задачи. Пусть х – количество конфет в одном пакете, а у – количество пакетов в одном мешке.
3. Общее количество конфет равно ху.
4. Уложим это же количество конфет вторым способом, а именно: (х — 5) – количество конфет в одном пакете, 3((у/2)–2) – количество пакетов в одном мешке, всего конфет –·(х–5)·3·((у/2)–2).
5. Общее количество конфет не меняется, поэтому приравняем количество конфет, выраженное при первом способе укладке и при втором способе: \(xy=3\left( x-5 \right)\left( \frac{y}{2}-2 \right)\).
6. Получили равенство, содержащее две неизвестные, анализ условия показывает, что были использованы все данные задачи, следовательно, полученное равенство есть функция. Выразим у через х и исследуем ее свойства. Получим \(y=\frac{12\cdot \left( x-5 \right)}{x-15}\).
7. На промежутке \(x\in \) (15, +∞) функция убывает, наибольшее значение функция принимает в наименьшем натуральном значении аргумента х=16. Следовательно, у = 132.
8. Деды Морозы раскрадывали конфеты в 132 пакета по 16 конфет в пакете, всего конфет было х·у=16·132=2112.

Ответ: наибольшее количество конфет, которые могли раскладывать Деды Морозы, равно 2112.

I. Анализ условия. Речь идет о двух переменных: количество заказов в одной фирме и количество заказов в другой фирме. Оплата зависит от количества выполненных заказов. Очевидно, надо составить функцию, по которой можно вычислить оплату труда сотрудников в зависимости от количества выполненных заказов.

II.
Поиск решения.

1. Введем переменные и математически опишем связывающие их условия. Пусть \(x\in N\) заказов выполняет первая фирма; \(y\in N\) – вторая фирма.

Всего должно выполняться 20 заказов: \(x+y=20\).

2. Доля человеко-часов в первой фирме \(4{{x}^{3}}\), во второй – \({{y}^{3}}\).

3. В неделю Вы будете тратить \(S=1\cdot (4{{x}^{3}}+{{y}^{3}})\) тыс. руб.

Необходимо путем подстановки получить функцию одной переменной и исследовать ее на наименьшее значение.

III.
Осуществление решения.

1. Выразим у через х и подставим в выражение для S
следующим образом:

\( \left\{
\begin{aligned}
& x+y=20, \\
& S=1\cdot (4x^3+y^3) \\
\end{aligned}
\right.
\to
\left\{
\begin{aligned}
& y=20-x,\ \ \ 0\le x\le 20, \\
& S=4{{x}^{3}}+{{(20-x)}^{3}}. \\
\end{aligned}
\right.
\)

2. Найдем наименьшее значение функции \(S=4{{x}^{3}}+{{(20-x)}^{3}}\) на отрезке [0, 20] с использованием производной функции \(S(x)\).

\({S}’\left( x \right)=12{{x}^{2}}-3{{(20-x)}^{2}}=9{{x}^{2}}+120x-1200\to {S}’\left( x \right)=0.\)

\(9{{x}^{2}}+120x-1200=0\leftrightarrow 3{{x}^{2}}+40x-400=0\leftrightarrow \)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-20\pm \sqrt{400+1200}}{3}=\frac{-20\pm 40}{3}\).

Определим, принимает ли функция наименьшее значение при \(x=\frac{20}{3}\). Подставим точки \(x=6\) и \(x=7\) в производную, получим
\({S}'(x)=9\cdot 36+120\cdot 6-1200=-156<0\); \({S}'(x)=9\cdot 49+120\cdot 7-1200=81>0\).

3. Точка \(x=\frac{20}{3}\) является точкой минимума функции. Однако, \(x\) – это натуральное число, поэтому подставим в \(S\left( x \right)=1\cdot (4{{x}^{3}}+{{y}^{3}})\) два значения \(x=6\) и \(x=7\).

\(S\left( 6 \right)=(4\cdot {{6}^{3}}+{{(20-6)}^{3}})=864+2744=3608\) (тысяч рублей);
\(S\left( 7 \right)=(4\cdot {{7}^{3}}+{{(20-7)}^{3}})=1372+2197=3569\) (тысяч рублей).

IV. Ответ. Искомая сумма 3 569 000 рублей.

I.
Анализ условия и поиск решения.

1. В условии задачи речь идет о двух объектах – «стандартные номера» и «номера люкс», которые связаны суммарной площадью. Введем переменные:
х – количество номеров площадью 27 м²,
у – количество номеров площадью 45 м².

2. По условию, х номеров площадью 27 м²,и у номеров площадью 45 м², не
должны превышать 981 м². Математически это запишется так:

\[27x+45y\le 981\to 3x+5y\le 109.\]

3. Общая прибыль будет складываться из суммы \(2000x+4000y\). Прибыль будет наибольшей и при значении \(s=\left( x+2y \right)\)

Необходимо найти при каких х и у эта сумма будет
максимальной.

II. Решение. {Такой тип задачи решается с
помощью специальных методов и относится к разделу «линейное программирование»}.

1) Рассмотрим систему \(\left\{ \begin{align}
  & 3x+5y\le 109, \\
 & s=x+2y. \\
\end{align} \right.\)
Сделаем замену переменных

\[\left\{ \begin{align}
& x=s-2y \\
& 3\left( s-2y \right)+5y\le 109 \\
\end{align} \right.\to \left\{ \begin{align}
& x=s-2y, \\
 & 3s\le y+109. \\
\end{align} \right.\]

2) Анализируя последнее неравенство \(3s\le y+109\) можно сделать вывод, что чем больше у, тем больше s.

3) Сколько останется свободного пространства, если все номера сделать «люксами»? Поделим 981 м² на 45 м², получим \(981=45\cdot 21+36\), для получения наибольшей прибыли необходимо открыть 21 номер «люкс» и один стандартный, которые будут приносить Вам доход \(2000\cdot \left( 1+2\cdot 21 \right)=86\) тыс. руб. в сутки. При этом останется 9 м² незанятого пространства.

4) Уменьшим на 1 количество номеров «люкс»: \[981=45\cdot 20+27\cdot 3\]. Подсчитаем Вашу прибыль в сутки, если в отеле 20 номеров «люкс» и три стандартных номера, незанятого пространства не остается: \(2000\cdot 3+4000\cdot 20=86\) тыс. руб.

5) Уменьшим еще на один количество номеров «люкс»: \(981=45\cdot 19+27\cdot 4+18\). Как видим, незанятого пространства осталось 18. Ожидаемая прибыль: \(2000\cdot 4+4000\cdot 19=84000\) руб. соответственно меньше.

IV. Ответ. В отеле должно быть как можно больше номеров «люкс» и тогда ожидаемая прибыль будет 86 000 руб.

I. Анализ условия и поиск решения.

1. По условию задачи речь идет о трех
взаимосвязанных объектах: количестве каждого вида мягкой мебели,
производственные мощности фабрики на выпуск одной продукции, прибыль от
реализации каждого вида продукции.

2. Введем обозначения:
х – число выпускаемых фабрикой диванов (\(x\ge 25\));
у – число выпускаемых фабрикой пуфиков (\(y\ge 40\)).
2х – число выпускаемых фабрикой кресел.

3. Опишем математически производственные
мощности фабрики:

На выпуск одного дивана затрачивается \[\frac{1}{60}\]
производственной мощности;

на выпуск одного пуфика – \[\frac{1}{150}\]; на
выпуск одного кресла – \[\frac{1}{350}\].

Сумма производственных мощностей, затрачиваемых
на выпуск х диванов, 2х кресел и у пуфиков не может превосходить полной
мощности фабрики, т.е.

\[\frac{x}{60}+\frac{2x}{150}+\frac{y}{350}\le
1\].

4. Прибыль всей фабрики будет вычисляться как
сумма прибыли от каждой единицы товара. Опишем математически прибыль фирмы от
реализации каждого вида товаров.

\[\left( 12600-9000 \right)\cdot x=3600x\] – прибыль от реализации диванов,
\[\left( 5950-4000 \right)\cdot 2x=3900x\] – прибыль от реализации кресел,
\[\left( 2000-1250 \right)\cdot y=750y\] – прибыль от реализации пуфиков.

Прибыль от всей продукции будет вычисляться по формуле:
\(S=3600x+3900x+750y\ \ \to \ \ S=750\cdot (10x+y)\).

Задача свелась к нахождению натуральных х и у, удовлетворяющие системе условий:
\[\left\{ \begin{align}
& S=750\cdot (10x+y)\to \max  \\
& \frac{x}{60}+\frac{2x}{150}+\frac{y}{350}\le 1, \\
& x\ge 25,\ y\ge 40. \\
\end{align} \right.\]

II. Решение.

1. Преобразуем правую часть второго
неравенства:

\(\frac{x}{60}+\frac{2x}{150}+\frac{m}{350}=\frac{3x}{100}+\frac{y}{350}=\frac{105x+10y}{3500}\).

2. Упростим второе неравенство и выразим у через х:

\(\frac{x}{60}+\frac{2x}{150}+\frac{m}{350}\le 1\ \ \to \ \ \ 105x+10y\le 3500\ \ \to \ \ y\le \frac{3500-105x}{10}\).

3. Из условия \(y\ge 40\) найдем область допустимых значений переменной х:

\(\frac{3500-105x}{10}\ge 40\to 3500-105x\ge 400\to -105x\ge -3100\to x\le 29,52\).

4. Переменная х принимает только целые положительные значения, т.е. \(25\le x\le 29\).

5. По формуле \(y\le \frac{3500-105x}{10}\) можем найти соответствующие значения у.

6. По формуле \(S=750\cdot (10x+y)\) можем найти прибыль. Без потери смысла можем находить прибыль по более упрощенной формуле \(\tilde{S}=10x+y\).

7. Представим в таблице расчеты

5. Сравнивая между собой значения \[{{\tilde{S}}_{1}},\
{{\tilde{S}}_{2}},\ {{\tilde{S}}_{3}},\ {{\tilde{S}}_{4}},\ {{\tilde{S}}_{5}}\],
видим, что наибольшее возможное значение равно 337 и достигается при х=25, у=87 и х=26, у=77.

III. Ответ. Оптимальных производственных планов два:
– диванов 25 штук, пуфиков 87 штук, кресел 50 штук;
– диванов 26 штук, пуфиков 77 штук, кресел 52 штуки.