Задачи взяты с сайта https://ege.sdamgia.ru
Алгебраический метод, а точнее метод решения математических задач методом составления уравнений (систем уравнений). Суть метода состоит в прохождении последовательности этапов: объяснение к составлению уравнения, составление уравнения, решение уравнения, проверка, запись ответа, анализ решения задачи. Особенностью алгебраического метода является то, что при описании зависимости между величинами используются формулы для нахождения движения, работы, концентрации и т.д., представляющие систему в изменении, для которых характерны вполне определённые входные или выходные данные. Основные факторы, характеризующую ситуацию, вполне определены или известны.
Оговоримся, что слово «алгебраический» выбрано учащимися, у которых это слово вызывает ассоциативные связи с уравнениями и методами их решений.
Введение одной переменной и составление линейного уравнения
Введение одной переменной и составление квадратного уравнения
Введение одной переменной и составление дробно-рационального уравнения
Введение двух переменных и получение линейной системы из двух уравнений с двумя неизвестными
Пример. Смешав 70 % и 60 % растворы кислоты и добавив два килограмма чистой воды, получили 50 % раствор кислоты. Если бы вместо 2 килограммов воды добавили два килограмма 90 % раствора той же кислоты, то получили бы 70 % раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % раствора кислоты использовали для получения смеси?
I. Анализ условия задачи. Речь идет о массе раствора и о массе кислоты в этом растворе. Представим, что у нас есть три банки с разной концентрацией кислоты. Перельем все содержимое этих банок в одну двумя способами.
| 1 способ | 2 способ | |||
| масса раствора (кг) | масса кислоты | масса раствора (кг) | масса кислоты | |
| 1 банка с 70 % раствором | х | 0,7х | х | 0,7х |
| 2 банка с 60 % раствором | у | 0,6у | у | 0,6у |
| 3 банка с водой | 2 | 0\(\cdot \)2 | 2 | 0,9\(cdot \)2 |
| 4 банка, куда все слили | х+у+2 | 0,5(х+у+2) | х+у+2 | 0,7(х+у+2) |
II. Поиск решения. Очевидно необходимо составить два уравнения для того, чтобы найти значения введенных неизвестных х и у. Для этого, обратимся к условию задачи и найдем фразу «получили 50 % раствор кислоты», что будет означать, что количество кислоты в трех банках равно получившемуся количеству кислоты в четвертой банке: \(0,7x+0,6y+2\cdot 0=0,5\left( x+y+2 \right)\).
Аналогично
получаем второе уравнение:
\(0,7x+0,6y+2\cdot 0,9=0,7\left( x+y+2 \right)\).
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений: \[\left\{ \begin{align}
& 0,7x+0,6y+2\cdot 0=0,5\left( x+y+2 \right), \\
& 0,7x+0,6y+2\cdot 0,9=0,7\left( x+y+2 \right) \\
\end{align} \right.\].
III. Решение системы уравнений.
\[\left\{ \begin{align}
& 0,7x+0,6y=0,5x+0,5y+1, \\
& 0,7x+0,6y+1,8=0,7x+0,7y+1,4. \\
\end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align}
& 0,2x+0,1y=1, \\
& 0,1y=0,4. \\
\end{align} \right.\]
\[\left\{ \begin{align} & y=4, \\
& x=3. \\ \end{align} \right.\)
IV. Формулируем ответ. Для получения смеси использовали 3 кг 70% раствора.
Введение двух переменных и получение нелинейной системы из двух уравнений с двумя неизвестными
Пример. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?
Введение нескольких переменных и получение системы уравнений, содержащей больше неизвестных чем уравнений
