Лучше усваиваются те знания,
которые поглощаются с аппетитом
Анатоль Франс
Философская трактовка понятия. Существует несколько концепций трактовки понятий, и согласно самой древней, понятие являлось синонимом определения, а определение обозначало суть бытия. С точки зрения философа В.С. Библера, понятие выступает в процессе мышления в трояком виде.
Как предмет размышления. В таком виде понятие выступает как мысленная модель реального предмета, исходный пункт развития мысли. В результате работы мышления над воспринимаемыми и представляемыми предметами создается отправной понятийный опыт. Предмет не просто «отображается в понятии», он мысленно воспроизводится.
Как оружие мыслительной деятельности. Мыслительный процесс, как указывалось выше, невозможен без оперирования понятиями, поэтому понятие выступает как средство размышления.
Как сама целесообразная деятельность. С этой позиции понятие выступает как действие, элементарный акт мыслительного процесса, во время которого происходит преобразование «образа в идею, орудие – в предмет, предмета – в орудие» [80, с. 53].
В философии существуют различные трактовки «понятия». Известно более 30 попыток дать его определение. Наиболее распространенное звучит так: «понятие – форма мысли, в которой отражаются существенные признаки вещей и явлений» [8, с. 12].
Е.К. Войшвилло считает, что содержание понятия не исчерпывается признаками, указанными в определении, оно гораздо шире, и для того, чтобы более полно характеризовать понятие, выделяет «основное содержание» и «собственное содержание» понятия. Е.К. Войшвилло дает следующее определение понятия: «Как форма мысли понятие представляет собой результат обобщения и (мысленного) выделения предметов или явлений некоторого класса (вида, качества) по некоторой отличительной для данного предмета совокупности признаков» [14, c. 117].
Понятие – форма логического мышления, образ, фиксирующий общие и существенные признаки и свойства предметов и явлений и отношения между ними; мысль или система мыслей, выделяющая и обобщающая предметы некоторого класса по общим и в своей совокупности специфическим для них признакам. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.
Понятийный опыт интеллекта. С психологической точки зрения образование понятий – это процесс превращения определенных единиц объективно существующего знания в субъективные ментальные структуры, существующие уже «внутри» опыта человека в качестве психических новообразований [118].
Следовательно, овладеть понятием путем ПРОСТОГО ЗАУЧИВАНИЯ НЕВОЗМОЖНО!!! Необходимо постепенное выстраивание в ментальном опыте ученика понятийных психологических структур. Получается, что усвоение полноценных научных понятий зависит от тех операциональных структур, которые уже сложились у ребенка к моменту обучения. Поэтому, чтобы не быть поверхностным, обучение должно приспосабливаться к наличному уровню развития детского интеллекта.
Согласно социокультурной концепции развития Л.С. Выготского усвоение так называемых «научных понятий» способствует сознательному отношению подростка к своей интеллектуальной жизни и овладению собственными интеллектуальными силами. Образование понятий играет ключевую роль в процессе интеллектуального развития, поскольку «…именно образование понятий является основным ядром, вокруг которого располагаются все изменения в мышлении подростка». По мере формирования понятийного мышления не только происходит перестройка связей между отдельными познавательными функциями, но и наблюдается изменение природы каждой отдельной познавательной функции [15].
Так, понятийное мышление в его работах выступает как сознательная, категориально-логическая форма интеллектуальной деятельности. Критериями развития понятийного мышления выступает мера общности понятия, т.е. характеристика понятия как с точки зрения степени обобщенности его содержания, так и с точки зрения степени его включенности в систему связей с другими понятиями.
Согласно концепции интеллекта, рассмотренной в работах М.А. Холодной, понятийные психические структуры – это интегральные когнитивные структуры, особенности устройства которых характеризуются включенностью разных способов кодирования информации, представленностью визуальных схем разной степени обобщенности и иерархическим характером организации семантических признаков [108].
Многие исследователи признавали особую роль понятийного мышления в структуре интеллекта, рассматривая способность к понятийному отражению как высшую стадию интеллектуального развития, а понятийную мысль – как один из наиболее эффективных познавательных инструментов. Потому как, согласно идеям генетического подхода, каждое новое, более сложное психическое образование выступает как результат преобразований в структуре предшествовавших ему по времени психических образований.
Так, Л.С. Выготский указывал, что в образовании понятия принимают участие все элементарные интеллектуальные функции в своеобразном сочетании, причем центральным моментом этого интегративного процесса является функциональное употребление слова. При включении в работу понятийных структур информация об объектах и событиях начинает перерабатываться одновременно в системе множества взаимодействующих между собой форм психического отражения (разных способов кодирования информации). Это обстоятельство, по-видимому, и объясняет высокие разрешающие познавательные возможности интеллекта в условиях высокоразвитого понятийного мышления.
Согласно Л.С. Выготскому, понятие – особая структура обобщения, которая характеризуется, с одной стороны, выделением и соотнесением некоторого множества признаков отображаемого объекта и, с другой стороны, включенностью в систему связей с другими понятиями [19, с. 94].
Методика формирования математических понятий и включает прохождение следующей системы этапов.
Этап мотивации. Необходимо сформировать у учащегося понимание необходимости введения нового понятия или нового умения. Как правило, обоснование необходимости введения «нового» демонстрируется конкретными примерами (например, ), наглядно иллюстрирующими невозможность решить математическую задачу имеющимися средствами.
К мотивационным задачам так же относят задачи прикладного характера, представляющего интерес для учащихся. Пример мотивационной задачи при обучении решению текстовых задач алгебраическим способом. «Скажи мне, знаменитый Пифагор сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
– Вот сколько, – ответил философ, – половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и, кроме того, есть три женщины».
Этап актуализации. Очень важно актуализировать знания учащихся, необходимые для понимания и усвоения нового понятия. Так, например, для изучения параллелограмма важно повторить с учащимися признаки параллельности двух прямых и признаки равенства треугольников.
Этап введения. Введение понятия, умения, формулы, алгоритма должно осуществляться с опорой на активность учащегося. Необходимо проводить лабораторно-практические работы таким образом, чтобы учащиеся сами увидели свойства понятия, вывели формулу, сформулировали правило. Так, например, учащиеся самостоятельно могут доказать свойства параллелограмма и трапеции, самостоятельно вывести формулы сокращенного умножения, составить алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Этап усвоения. После того, как учитель провел деятельность по введению понятию будь то абстрактно-индуктивным или конкретно-индуктивным способом, необходимо убедиться в том, что все учащиеся поняли материал. Для этого обычно используют систему устных задач и систему задач «на готовых чертежах». При изучении нового материала, учитель должен убедиться, что все основные понятия и их свойства правильно восприняты учащимися. Для этого обычно используют систему устных задач и систему задач «на готовых чертежах».
Этап закрепления. Даже если учащийся понял новое понятие, необходимо провести деятельность по «присваиванию» этого понятия, умения, правила, алгоритма. Для этого используется система ключевых задач, направленных на применение понятия, умения, правила, алгоритма в различных ситуациях.
Этап обобщения и систематизации. Очень важно показать применение понятий в нестандартных ситуациях. Задачи, способствующие обобщению и систематизации математических знаний и умений по математическим разделам. К таким задачам относятся задачи, решение которых аккумулирует в себе разные подходы, методы и способы решения.
Этап контроля. Все, что изучено должно быть проверено. Регулярная обратная связь поможет вовремя ликвидировать познавательные трудности.
Контрольные задачи – это такие задачи, по которым делается вывод о результатах изучения математической дисциплины, о достигнутом уровне развития интеллектуальных умений, о развитии математической культуры, о развитии компетенций учащихся.
Примеры
Пример 1. Понятие «Неправильная дробь».
Логико-математический анализ
Формулировка определения понятия: Если числитель дроби равен ее знаменателю или больше него, то дробь называется неправильной.
- Логический анализ структуры определения понятия «неправильная дробь»:
- термин — неправильная дробь;
- род — дробь;
- видовые отличия: а) числитель равен знаменателю; б) числитель больше знаменателя;
- логические связи между видовыми отличиями — дизъюнктивная связь; с точки зрения логики — импликативное определение;
- вид определения — через описание характеристического свойства;
- опорные знания — дробь, числитель и знаменатель дроби, отношения «быть больше», «равно», «больше либо равно».
- Подведение под понятие (примеры конкретных дробей и контрпримеры):4/5 ,5/5 ,2/3 ,7/9 , 5,14/8 .
- Следствия из определения понятия: выделение целой части из дроби; понятие смешанного числа и действия над смешанными числами; свойства неправильной дроби – неправильная дробь больше или равна 1.
- Эквивалентные определения. Дробь больше или равная 1 называется неправильной.
- Возможные ошибки в формулировке определения: учащиеся путают числитель и знаменатель дроби; вместо двух существенных признаков называют один.
Типичные методические ошибки при изучении понятий
- Ошибки в подборе содержания:
— для обсуждения на этапе введения понятия выбран частный случай;
— на этапе усвоения представлен неполный набор упражнений на существенные и несущественные признаки.
2. Ошибки в структуре изложения:
— пропущен этап мотивации;
— пропущен этап усвоения;
— пропущен этап подведения итогов.
3. Ошибки в ведении диалога:
— предложен монолог вместо диалога, что лишает учеников возможности участия в процессе формирования определения;
— признаки понятия на основном примере обсуждаются в терминологии, отличной от терминологии определения;
— исправление ошибок берет на себя учитель вместо того, чтобы: привести контрпример и предложить ученикам обсудить, подходит он под определение или нет;привлечь учеников к обнаружению и исправлению ошибок.
4. Ошибки в логике изложения:
— связи с прошлым материалом отсутствуют или являются необоснованными;
— нет логического перехода от примера к определению (например, вместо: «Вот такие числа, которые …, называются…» используется «Вот такие числа называются…»;
— не намечены пути дальнейшей работы с изучаемым понятием.