Математические способности

6.1. Математические способности: различные подходы к
пониманию

Под способностями к изучению математики понимают «индивидуально-психологические особенности (прежде всего умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности, относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики» [61, с. 85].

Надо различать, что когда мы анализируем деятельность ученика с точки зрения того, какие психологические особенности благоприятствуют этой деятельности, то мы анализируем способности. Если мы анализируем умения и навыки, то мы говорим: «умение решать квадратное уравнение», «умение раскладывать на множители», «умение находить площадь треугольника» и т.д. Умения и навыки – это акты математической деятельности, они относятся к содержанию этой деятельности. Но способность к обобщению, способность к отвлечённому мышлению – это не есть акты мыслительной деятельности, это психологические особенности конкретной личности.

В психологии доказано, что врожденными способности быть не могут, врожденными могут быть только задатки и анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы. Способности формируются в деятельности, это прижизненные образования. Каждый нормальный ученик обладает задатками в той мере, в которой это необходимо для развития способностей к успешному усвоению школьного курса математики. Но, безусловно, далеко не каждый обладает задатками для развития высшего уровня математических способностей, связанных с творчеством, открытием нового в области математики.

Чтобы выяснить структуру пригодности ученика к математической деятельности, надо выделить специальные способности и общие психологические условия изучения математики. В настоящем пункте рассмотрим структуру и особенности математических способностей.

Учебные математические способности – это очень специфический вид индивидуально-психологических особенностей умственной деятельности ученика, на развитие которых предъявляет требования особенности математической деятельности. Мышление учеников, способных к математике, носит название математическое мышление.

Х.Ж. Ганеев выделил несколько основных подходов к понимаю математического мышления в трудах ученых [18, с.52–60].

Сторонники первого подхода (Ж. Адамар, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, С.И. Швацбург, Н.А. Менчинская, А.В. Крутецкий и др.) математическое мышление связывают со спецификой математики и с особенностями ее абстракции.

Представители второго подхода (К. Струнц, Л.С. Трегуб) отрицают специфику математического мышления, полагая, что методы познания, лежащие в основе математики, являются общими методами человеческого познания.

Третий подход представлен Ж. Пиаже, который показал, что математические структуры являются формальным «продолжением» операторных структур мышления [47; 48]. Этот подход получил распространение в трудах И.Я. Каплуновича: «Согласно нашим представлениям, психологическая модель структуры математического мышления может быть описана пятью пересекающимися подструктурами» [48, с. 75].

Топологическая подструктура. «Топологи», у которых доминирует эта подструктура, не любят торопиться, они очень логичны, последовательны и скрупулёзны.

Проективная подструктура. Те, у кого преобладает эта структура, предпочитают рассматривать и изучать математический объект с различных точек зрения, искать и находить различные применения предмета. «Проективисты» поражают своей способностью отыскивать неожиданные подходы и аспекты решения математических задач.

Порядковаяподструктура. Школьники, для которых работа по алгоритму, по правилам – любимое занятие. Дети сравнивают и оценивают в общем качественном виде (равно – не равно, больше – меньше, до – после), для них очень важна форма объектов.

Метрическаяподструктура. Дети «метристы» акцентируют свое внимание на количественных характеристиках, главная проблема для них – «сколько?»: какова длина, площадь, расстояние, величина. Для них гораздо приятнее искать число, нежели общий принцип, идею.

Алгебраическая подструктура. Учащиеся с этой подструктурой думают и действуют быстро, не любят объяснять, обосновывать свои действия. «Алгебраисты» способны фонтанировать идеи, предположения, гипотезы, но часто ошибаются.

В зависимости от индивидуальных особенностей учащегося любая из перечисленных структур может занимать место доминантной, преобладающей подструктурой [48].

Сторонники четвертого подхода считают, что математическое мышление является мышлением теоретическим и имеет такую же последовательность становления: от эмпирического к аналитическому, к планирующему, рефлексирующему мышлению (Р. Атаханов, В.В. Давыдов, Л.К. Максимов и др.).

Л.М. Фридман пишет: «Думается все же, что математическое мышление, особенно современное, имеет свою специфику, особенности, отличающие его от мышления в других науках… Специфику математического мышления следует искать не в ее методах, которые действительно широко сейчас применяются в других науках и поэтому получают все больше и больше статус всеобщих методов познания, а в ее объектах» [105, с. 39–40]. Исходя из этого, он дает следующее определение: «Математическое мышление – это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения» [105, с. 41]. Математическое мышление, которое должно быть сформировано у учащихся в процессе обучения математике, Л.М. Фридман считает составной частью общей культуры мышления. Однако он отмечает, что математический стиль мышления в наиболее яркой форме выражает научно-теоретический стиль мышления вообще. Культура мышления характеризуется им такими признаками, как разумность, логичность и дисциплинированность [105, с. 112].

Рассмотрим подробнее работы сторонников первого подхода.

А.В. Крутецким и его коллегами впервые был проведен широкомасшабный эксперимент по исследованию математических способностей школьников. Анализ отечественных и зарубежных работ того времени показал, что несмотря на многочисленный интерес исследователей по всему миру, обоснованного и упорядоченного понимания сущности математических способностей достигнуто не было [61].

В отличие от своих предшественников В.А. Крутецкий приступил к изучению математических способностей школьников, основываясь на аргументированной гипотезе об их основных компонентах. В соответствии с исходной гипотезой была разработана большая система экспериментальных задач из 26 серий, включающих 79 тестов (в том числе 22 арифметических, 25 геометрических, 17 алгебраических и 15 общематематических задач [61, с. 12].

Приведем примеры диагностических заданий [61].

I. Задачи с несформулированным вопросом.

1. На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной по 5 и 8 м. (Сколько уложено и тех и других труб?)

2. У двоих вместе было 28 руб., а у одного из них А руб. (Сколько было у второго?)

3. В треугольнике первый угол на 300 больше второго, а третий угол на 200 меньше первого. (Найти величину углов.)

II. Задачи с неполным составом условия.

1. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем товарных вагонов. Сколько в поезде цистерн, товарных вагонов и платформ? (Неизвестно общее число их.)

2. Даны две окружности, радиус одной из них 3 см, расстояние между их центрами 10 см. Пересекаются ли эти окружности? (Требуется знать радиус другой окружности.)

III. Задачи с избыточным составом условия

1. На автостоянке находится 40 машин – автомобили и мотороллеры. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько и тех и других машин?

2. Дан равнобедренный треугольник, одна сторона его 2 см, другая 10 см, третья равна одной из двух других данных. Найти третью сторону.

IV. Задачи на доказательство.

1. При каких значения а и b имеет место равенство ?

2. Доказать, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

V. Нереальные задачи.

1. Периметр прямоугольного треугольника равен 3,72 м. Две его стороны по 1,24 каждая. Найти третью сторону.

2. Записать в общем виде все числа, которые делятся на 5 и имеют в остатке 7?

3. Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше – Андрей или Иван?

Для выявления особенностей восприятия логико-математических отношений В.А. Крутецкий использовал задачи с отсутствующим вопросом, задачи с неполным составом условия, задачи с избыточным составом условий. Оказалось, что показатели решения этих трех типов задач в группе способных к математике школьников высоко коррелировали между собой, что было объяснено как способность к формализованному восприятию функциональных связей задачи, «очищенных» от конкретных значений.

В книге В.А. Крутецкого представлена обширная система полученных им экспериментальных результатов, показано, что самой главной чертой математического мышления является способность мыслить логико-математическими структурами, схемами математических отношений, отвлеченными от их конкретного «чувственно-наглядного» воплощения, так сказать чистыми структурами отношений [61, с. 13].

У способных к математике учеников структура задачи четко вычленяется из ее условий и конкретных данных. Более того, выяснилось, что спустя час после решения, способные к математике в 95,7 % случаев помнили типовые признаки задач, схемы рассуждений, основные линии рассуждений, логические схемы задач [61, с. 16].

В.А. Крутецкий отмечает, что мышление способных к математике учеников отличается следующими характеристиками: быстрым и широким обобщением; стремлением мыслить свернутыми умозаключениями; большой подвижностью мыслительных процессов; свободным переключением от одной умственной операции к другой; тенденцией к ясности, простоте, рациональности, экономичности, изяществу решения. Как указывает сам автор, самое главное при обучении математике – формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. В его исследовании специфической способностью относительно математического материала выступала «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий» [61, с. 385–386, 389].

В исследовании В.А. Крутецкого были обнаружены два способа обобщения: постепенное, к которому учащийся приходит в результате длительного решения однотипных задач, и обобщение «с места» – на основе анализа решения одной задачи, «… не испытывая затруднений, без помощи экспериментатора, без специальной тренировки в решении однотипных задач» [61, с. 264–265]. Первый способ, как показал В.В. Давыдов, есть не что иное, как эмпирическое обобщение, а второй способ есть теоретическое обобщение. Они обусловливают особенности двух типов мышления – рассудочно-эмпирического и теоретического [61].

Вот, что писал В.А. Крутецкий о своих исследованиях: «Мозг некоторых людей своеобразно ориентирован на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных отношений и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математические характеристики, связи образуются относительно быстро и легко» [61, с. 14].

Представленные в книге В.А. Крутецкого экспериментальные материалы, раскрывающие разные аспекты «настроенности мозга» способных к математике школьников, служат ориентиром для определения, развития и совершенствования математических способностей школьников.

В.А. Крутецкий сформулировал основные характеристики математических способностей учащихся.

1) Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей.

2) Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном.

3) Способность к оперированию числовой и знаковой символикой.

4) Способность к последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению, связанному с потребностью в доказательствах, обоснованиях и выводах.

5) Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами.

6) Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли).

7) Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов.

8) Хорошая математическая память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы.

9) Способность к пространственным представлениям.

10) Высокий уровень развития математической интуиции [61, с. 389].

Более того, в процессе экспериментов были предложены разные типы «математических способностей» учащихся. Так, есть школьники, которые быстрее схватывают и усваивают чужие идеи, а есть школьники, которые мыслят медленнее, но зато оригинальнее других. Также выделяются «аналитики» и «геометры» в зависимости от уровня развития математической интуиции. Намечены были и другие основания для типологического деления математических способностей:

– логический и калькулятивный (вычислительный) тип;

– синтетический и аналитический тип (первый способен скорее увидеть путь к решению трудных задач, второй – найти обоснование правильного решения);

– конкретный и абстрактный тип (первый любит решать задачи, второй – склонен к общим рассуждениям) [61, с. 203].

Таким образом, мы рассмотрели основные подходы к трактовке феномена «математические способности» в психолого-педагогической литературе.

Надо понимать, что каждый ученик обладает в определенной мере математическими способностями, оценить и развить их – задача педагога. Для того чтобы проследить траекторию развития каждого ученика в процессе изучения школьной математики, прежде всего, необходимо отследить уровень его математических способностей на первом начальном этапе. Наиболее рационально начинать выяснение математических способностей в 6–7 классе, так как что-то определённое в этом отношении уже сложилось. В этом возрасте начинается, более или менее, систематическое изучение алгебры и геометрии, поэтому математические способности начинают объективно проявляться и развиваться, важно не пропустить этот этап. В 10–11 классе способности в каком-то смысле уже сложившееся образование, поэтому их выявление на этом уровне – есть констатация свершившегося.

Итак, под математическими способностями понимают такие способности учащегося, которые позволяют ему:

– испытывать устойчивую потребность в познании нового, в поиске истины;

– быстро и правильно воспринимать математические объекты, а именно их определять, выявлять существенные взаимосвязи, абстрагируясь от несущественных;

– создавать наглядно-действенные и наглядно-образные модели математических ситуаций;

– устанавливать свойства математического объекта, задействованного в математической ситуации;

– предвидеть конечные и промежуточные результаты проводимого исследования;

– мысленно осуществлять эксперимент по выбору эффективного способа решения математической задачи;

– символически оформлять собственные мысли в соответствии с правилами математики;

– самостоятельно выявлять и исправлять ошибки в математических рассуждениях [крутецк].

6.2. Проблема развития математических способностей

В первом пункте был описан эксперимент В.А. Крутецкого по выявлению математических способностей у школьников и описанию их показателей.

Как указывает сам автор, самое главное при обучении математике – формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. В его исследовании специфической способностью относительно математического материала выступала «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий» [61, с. 389].

В настоящем пункте опишем некоторые приемы и способы развития математических способностей в условиях процесса обучения математике.

Для развития у учащегося математических способностей необходима целенаправленная деятельность педагога по формированию у учащегося:

– широкого математического кругозора – системы математических знаний и умений по разным областям математики;

– алгоритмических способностей – это способности умелого преобразования сложных буквенных выражений, нахождения удачных путей решений для уравнений и неравенств, не подходящих под стандартные правила;

– геометрического (пространственного) воображения – способность мысленно представить/воссоздать определённые объекты (геометрические фигуры, модели, часть пространства) и совершать действия над ними;

– логических способностей – искусство последовательного, правильного расчленённого рассуждения, способность точно и ясно выражать свои математические мысли, используя при этом математический язык;

– абстракции – процесс мысленного отвлечения от ряда свойств, предметов и отношений между ними и одновременного выделения, вычленения интересующего нас свойства или отношения;

– математической интуиции – безотчётное неосознанное чувство, подсказывающее быстро, без сознательного анализа находить направление поиска, ведущего к оптимальному решению задачи; математической памяти – память на математические отношения, схемы, формулы, рассуждения, доказательства и методы решения задач.

Для этого применяют такие методы учебной работы, как:

– небольшие доклады по отдельным вопросам математики и ее истории (например, );

– решение занимательных задач (например, из книг «Живая математика», «Занимательная геометрия», «Занимательная алгебра» Я. Перельмана и др.);

– разбор математических заданий повышенного уровня сложности (библиотечка «Квант»);

– самостоятельное чтение научно-популярной математической литературы (например, «Ошибки в доказательствах», «Индукция в математике», «»);

– участие в математических соревнованиях (олимпиады, турниры, математические «бои»);

– индивидуальное консультирование со специалистом геометром, алгебраистом и т.д.;

– исследовательская и проектная деятельность,

– решение практико-ориентированных задач.

Работа по развитию математических способностей школьников может вестись как на уроках математики, так и на факультативных занятиях.

А.Н. Колмогоров писал, что математические кружки для 5–6 классов весьма желательны, однако упор следует делать на развитие любознательности и формирование представлений о математике как о важной части каждой жизни. Очень важно, писал А.Н. Колмогоров, не только некоторым одаренным принимать участие в кружках, олимпиадах, но и всем желающим ученикам. Так, многие ученики могут почувствовать, что математика им дается, что она интересна, чтобы они могли учесть эту сторону своих возможностей при выборе рода работы [статья каплуновича вроде].

Математические способности можно развивать на разных уровнях: на эмпирическом, на уровне анализа, планирования и рефлексии (последний и является теоретическим, собственно математическим мышлением).

Работа по формированию математических способностей учащихся должна вестись, на наш взгляд, в двух направлениях: 1) создание в условиях учебного процесса необходимых предпосылок к зарождению интереса к математике; 2) работа с учащимися, проявляющими интерес и способности.

6.3. Рекомендации по развитию математических
способностей учащихся

Накопленный педагогический опыт позволяет сформулировать основные рекомендации по развитию математических способностей на каждом уроке.

  1. Развитие обобщенного умения решать математические задачи, учить учащихся видеть общие математические методы и идеи в системе задач. Весьма полезно приучать учащихся к анализу содержания задач, выявляя заданные математические объекты и существенные связи между ними.
  2. Овладение математическим языком, уверенное владение математической терминологией за счет работы с математической литературой. Важно обучать свертыванию процесса рассуждения, рекомендуя постепенно сокращать записи, особенно при вычислениях и преобразованиях.
  3. Важно уделять вниманию решению занимательных задач[1].
  4. Больше самостоятельной работы в зоне ближайшего развития учащимся. Активная самостоятельная деятельность учащихся подразумевает, что учитель учел индивидуальные и возрастные особенности учащихся при подборе задач для самостоятельного решения.
  5.  Уважение к гипотезам, выдвигаемых учащимися. Формирование способностей не идет по заранее подготовленному плану, у каждого учащегося своя скорость «наращивания» интеллектуальных умений. Поэтому важно давать каждому учащемуся двигаться в своем темпе, не подталкивая и не подгоняя.

Приведем примеры заданий, способствующих развитию математического мышления, распределяя их по трем группам. В каждой группе можно выделить типы задач, способствующих развитию компонент математического мышления: арифметические задачи; логические задачи; комбинаторные задачи; геометрические задачи; задачи на графах, текстовые задачи; задачи с параметрами и т.д.

Группа первая – занимательные задачи. Цель – развитие математической интуиции, сообразительности, формирование умения переформулировать задачу, логически мыслить, проводить правдоподобные рассуждения. В задачах этого типа, как правило, не нужно проводить длинных вычислений и преобразований.

Пример. В шахматном турнире участвовало 8 человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних шахматиста вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

Решение. Шахматисты, занявшие последний четыре места, сыграли между собой 6 партий и поэтому набрали вместе не менее 6 очков. Следовательно, шахматист, занявший второе место, набрал не меньше 6 очков.

С другой стороны, он не мог набрать больше 6 очков: если победитель турнира набрал 7 очков, то второй ему уже проиграл, и значит, набрал не больше 6 очков. 

Последние четыре участника турнира так же набрали 6 очков, и, следовательно, проиграли все партии шахматистам, занявшим 1–4 места.

Ответ: проиграли.

На этапе 5–6 класса учащимся предпочтительно предлагать задания, опирающиеся на чистую любознательность и ее практическую пользу. Работа ведется в трех основных направлениях: манипуляции с числами, логические умозаключения, пространственное воображение.

Манипуляции с числами включают в себя составление выражений, головоломки, числовые ребусы.

Логические умозаключения могут быть представлены задачами на переливания, на взвешивания, задачами-шутками.

Развитию пространственного воображения способствуют рисование фигур на клетчатой бумаге, задачи на разрезание, игры с пентамино.

Приведем примеры занимательных задач из сборников [111; 112].

  1. Применяя знаки арифметических действий и скобки, запишите семью семерками 700.
  2. Для нумерации книги для детей понадобились 204 цифры. Сколько страниц в книге, если нумерация начинается с первой страницы?
  3. Найдите какое-нибудь 100-значное число, в записи которого нет нулей и которое делится на сумму своих цифр.
  4. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?
  5. Полторы курицы за полдня снесли полтора яйца. Сколько яиц снесут 6 курс за 6 дней?
  6. Составьте из 12 спичек 6 одинаковых квадратов.
  7. Лодка может взят на борт или двух мальчиков, или одного взрослого. Может ли с помощью этих мальчиков переправиться рота солдат?
  8. В стране три города – А, Б и В. Жители города А всегда говорят правду, города Б – лгут, а города В строго попеременно лгут и говорят правду. Дежурному позвонили и состоялся такой диалог: – У нас пожар! – Где горит? – В городе В. Куда ехать пожарным?
  9. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 наполнены ровно наполовину, на три грузовика так, чтобы на всех грузовиках было поровну бочек и кваса?
  10. Имеется два сосуда вместимостью 17 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13 л воды?
  11. В пакете 9 кг крупы. Как при помощь чашечных весов и одной 200-граммовой гири отвесить 2 кг крупы, если разрешается сделать только три взвешивания?
  12.  Мама купила яблоки и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первым пришел Андрей, взял треть яблок и ушел. Вторым пришел Борис, взял треть оставшихся яблок и ушел. Затем вернулась из школы Валя, она взяла 4 яблока – треть от числа яблок, которые увидела. Сколько яблок купила мама?
  13. Когда у рыбака спросили, как велика пойманная им щука, он сказал: «Я думаю, что хвост ее – 1 кг, голова – столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – столько, сколько голова и хвост вместе». Сколько весит щука?
  14. В коробке лежат 100 шаров трех цветов – синего, зеленного и белого. Сколько шаров надо вытянуть из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета?
  15. Бросают две монеты. Если выпадут два орла, то выиграл первый, если выпадут орел и решка, то выиграл – второй. Справедлива ли эта игра?

Как видно из решений представленных задач, они направленны на развитие у учащихся проводить правдоподобные рассуждения, что является важным компонентом математических способностей.

Группа вторая – нестандартные задачи. Цель – развитие умения учащихся выбирать подходящие методы решения задач из уже имеющихся, знакомых. Для поиска ответа и доказательства нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык.

Пример. Самолет-разведчик летает по кругу с центром в точке А. Радиус круга 10 км, скорость самолета – 1000 км/ч. В некоторый момент из точки А выпускается ракета, которая имеет ту же скорость, что и самолёт, и управляется так, что она все время находится на прямой, соединяющей самолет с точкой А. Через какое время после запуска ракета догонит самолет?

Решение. Вроде бы задача на круговое движение, однако …

Траектория воображаемой ракеты – окружность вдвое меньшего радиуса: градусная величина дуги АR вдвое больше \[\angle QAP\], угла между касательной и хордой. Другими словами, вдвое больше градусной величины дуги \[\overset{\cup }{\mathop{QP}}\,\] окружности вдвое большего радиуса.

Поэтому длины этих дуг равны.

До встречи самолет пройдет четверть окружность, ракета – половину, т.е. ракета догонит самолёт через \[\frac{\pi }{200}\] часа.

Пример. Доказать, что если одна сторона треугольника лежит на фиксированной прямой плоскости, а точка пересечения высот совпадает с фиксированной точкой, то окружность, описанная около этого треугольника, также проходит через фиксированную точку.

Пример. Алексей приобрел ценную бумагу за семь тысяч рублей. Известно, что цена бумаги возрастает на три тысячи рублей каждый год. Через несколько лет Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет, так что сумма на счете будет увеличиваться на 10 %. Через сколько лет после покупки ценной бумаги Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение. Пусть n – количество лет владения ценной бумагой.

Сумма, которая начисляется каждый год может быть описана последовательностью: \[{{a}_{n}}=(7+3n)\cdot {{1,1}^{(15-n)}}.\]

По условию, необходимо, чтобы  член последовательности был больше предыдущего, т.е. \[{{a}_{n}}>{{a}_{n-1}}\to {{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}>0.\]

\[(7+3n)\cdot {{1,1}^{(15-n)}}-(7+3n-3)\cdot {{1,1}^{(15-n+1)}}>0.\]

\[{{1,1}^{(15-n)}}(7+3n-4,4-3,3n)>0\].

\[2,6-0,3n>0.\]

\[n<8,6.\]

Ответ: Через 8 лет.

Группа третья – исследовательские задачи. Цель – разработка собственных методов решения задач, освоение метода математического моделирования.

Пример. В концах диаметра окружности стоят единицы. Каждая из получившихся полуокружностей делится пополам, и в ее середине пишется сумма чисел, стоящих в концах (первый шаг). Затем каждая из четырех получившихся дуг делится пополам, и в ее середине пишется число, равное сумме чисел, стоящих в концах дуги (второй шаг). Такая операция проделываетсяn раз. Найдите сумму всех записанных чисел.

Решение. Рассуждаем: после первого шага сумма всех чисел будет равна 6=2·3.

Пусть \[{{S}_{n}}\] – сумма всех чисел после n-го шага. Не трудно доказать, что после \[\left( n+1 \right)\]–шага сумма станет равна \[2{{S}_{n}}+{{S}_{n}}=3{{S}_{n}}\].

Итак, сумма всех чисел каждый раз увеличится втрое, так что на n-шаге она будет равна \[2\cdot {{3}^{n}}\].

Пример. Все знают, что через две точки можно провести прямую и при том одну. Выясните, какую фигуру можно провести через три, четыре, пять, шесть точек? В процессе исследования обоснуйте выбор математических методов.

Указание. Через три точки можно провести окружность, через четыре параболу, через пять – эллипс. А вот какую кривую можно провести через шесть точек – вопрос для школьников остается открытый.

Пример. Вывести способы нахождения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

Критерии развития математических способностей:

1. Учащийся приобретает знания и умения путем самостоятельного исследования предложенной или выявленной им самим проблемы, испытывает устойчивую потребность в познании нового, в поиске истины.

2. Учащийся самостоятельно ищет способы решения проблемы, объясняет причины явлений, устанавливает взаимосвязи, быстро и правильно воспринимать математические объекты, а именно их определяет, выявляет существенные взаимосвязи, абстрагируясь от несущественных.

3. Предпочитает творческие самостоятельные работы.

[1] представленных в книгах Я. Перельмана, Б.А. Кордемского, Ф.Ф. Нагибина и др.

6.4. Диагностика математических способностей

Проводя психологическое консультирование по проблемам, связанным с развитием способностей учащегося, необходимо обязательно учитывать следующие знания о способностях, которыми располагает современная наука:

1. Способности человека в их прогрессивном развитии зависят от двух основных факторов: от наличия у человека определенных и, как правило, врожденных задатков, а также от социальных факторов (условий психологического развития человека), влияющих на превращение соответствующих задатков в способности.

2. Науке до сих пор доподлинно не известно, что такое задатки на анатомо-физиологическом уровне. Однако жизнь и практика работы с людьми позволяют, постоянно и внимательно наблюдая за ними, обнаруживать задатки по внешним, психологическим признакам. Это, в частности, можно сделать, наблюдая за тем, как ребенок ведет себя и решает разного рода задачи в раннем детстве.

3. Особенно ярко задатки ребенка проявляются в ранние, дошкольные годы его жизни, в частности в возрасте от одного года до трех-четырех лет. Их можно обнаружить, наблюдая, чем данный ребенок существенно и в положительную сторону отличается от других детей.

4. К возрасту примерно около четырех лет практически почти все имеющиеся у ребенка с рождения задатки так или иначе, проявляют себя. Поэтому, заботясь о развитии задатков ребенка, об их как можно более скором превращении в способности, необходимо активно приступать к развитию способностей при самых первых проявлениях задатков.

5. Многие способности человека можно развивать и при отсутствии у него явно выраженных задатков. Однако в этом случае придется приложить гораздо больше усилий для развития способностей, и они, наверное, не достигнут в своем развитии достаточно высокого уровня. Обучение и воспитание вносят не меньший вклад в развитие способностей, чем имеющиеся задатки. Сами задатки без обучения и воспитания никогда не превращаются в высокоразвитые способности человека.

6. Чем старше человек, тем труднее развивать его способности даже в том случае, если у него имеются явно выраженные задатки.

7. К главным условиям, обеспечивающим ускоренное развитие способностей, относятся следующие:

• своевременное и полное выявление задатков у ребенка,

• как можно более раннее начало активного развития способностей на их основе,

• наличие заранее разработанной и тщательно продуманной программы развития способностей, учитывающей индивидуальные особенности ребенка,

• использование современных развивающих методов и средств обучения,

• наличие способного, психолого-педагогически подготовленного учителя, владеющего техникой и методикой обучения, имеющего у самого себя способности, которые он собирается развивать у других,

• включение ребенка в деятельность, в которой проявляются и одновременно развиваются данные способности,

• проведение систематических развивающих учебных занятий с ребенком,

• контроль результатов развития с помощью психодиагностики формирующихся способностей с последующей коррекцией программы и методики обучения, направленного на их развитие.

Вернуться к содержанию