Задания к семинару-практикуму. Для формирования умения решать задачи на «принадлежность» в курсе элементарной геометрии студентам были предложены следующие задания.
Задания:
1. Проанализировать задачный материал в учебно-методической литературе. Выбрать задачи «на принадлежность», решить их. Предложить свою классификацию рассматриваемого типа задач.
2. Выбрать демонстрационные задачи, иллюстрирующие способ выяснения «принадлежности» точек. Обосновать свой выбор.
3. Выбрать задачи, не попадающие ни под какую категорию.
4. Подобрать задачи для самостоятельного решения. Составить указания к решениям, которые помогут учащимся, испытывающим трудности при решении задач «на принадлежность».
Вариант № 1 анализирует сборники задач по планиметрии.
Вариант № 2 анализирует учебники по планиметрии.
Вариант № 3 анализирует сборники заданий для подготовки к ГИА.
Вариант № 4 анализирует сборники задач для подготовки к олимпиадам по геометрии.
В результате поисковой работы студентов и проведения семинара-практикума, студентами были выбраны два подхода к решению задач «на принадлежность».
Подход № 1. Выбор решения зависит от того, что необходимо сделать. Студентами были предложены три основных типа задач:
– доказательство того, что три точки лежат на одной прямой;
– доказательство того, что прямые пересекаются в одной точке;
– доказательство того, что четыре точки принадлежат одной окружности.
Принадлежность точек прямой
Пример 1. Три окружности имеют общую точку M и попарно пересекаются в точках P, Q, R. Через произвольную точку A одной из окружностей, лежащую на дуге PQ, не содержащей точки M, и точки P и Q, в которых окружность пересекает две другие окружности, проведены прямые, пересекающие эти же две окружности в точках B и C. Докажите, что точки B, C и R лежат на одной прямой.
Пример 2 (Теорема Гаусса). Если продолжения сторон АВ, АС и ВС треугольника АВС пересекают прямую l в точках С1, В1, А1, то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 лежат на одной прямой.
Пример 3. Доказать, что ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера). При этом центр тяжести делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.
Пример 4 (Теорема Ньютона). Доказать, что в описанном четырехугольнике середины диагоналей лежат на одной прямой с центром его вписанной окружности.
Пересечение в одной точке
Пример 5. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных им сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.
Пример 6. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что три общие хорды каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке.
Пример 7. Окружность описана около треугольника ABC. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на прямые AB, BC, CA, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
Принадлежность точек окружности
Теорема. Четыре точки A, B, M, K принадлежат окружности, тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:
1) точки M и K расположены по одну сторону от прямой AB и при этом ∠AMB=∠AKB;
2) точки M и K расположены по разные стороны от прямой AB и при этом ∠AMB+∠AKB=180◦;
3) если ∠AMB=∠AKB=90◦, то точки A, B, M, K расположены на одной окружности с диаметром AB.
Теорема Симпсона. Для того, чтобы четыре точки принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы ортогональные проекции одной из них на три прямые, определяемые тремя остальными точками, были коллинеарными.
Пример 8. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника опустили высоту СН. Из точки Н на катеты опустили перпендикуляры НК и НЕ. Докажите, что точки А, В, К и Е лежат на одной окружности.
Пример 9. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на описанной около треугольника окружности.
Пример 10. (окружность девяти точек). В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр Н с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине Е отрезка ОН и радиусом 1/2R (О – центр описанной около треугольника окружности).
Подход № 2. Выбор решения зависит от предпочитаемого метода решения. Студентами были предложены следующие методы: аналитико-синтетический метод, алгебраический метод, с помощью преобразования плоскости, векторно-координатный метод.
Пример 11 (аналитико-синтетический метод). ABCD – ромб. Вне ромба взяты точки М и К, такие, что треугольники ADM и DCK – правильные. Точки M и B лежат по одну сторону от AD, точки K и B – по разные стороны от CD. Докажите, что B, M, K принадлежат одной прямой.
Пример 12 (алгебраический способ). Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку B, пересекает окружности в точках M и N. Через точку T, лежащую вне окружностей (точки T и A расположены в разных полуплоскостях относительно прямой MN), проведены прямые TM и TN, которые вторично пересекают окружности в точках P и Q. Докажите, что точки A, P, Q, T лежат на одной окружности.
Пример 13 (преобразование плоскости). Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину В. Докажите, что медиана ВЕ треугольника АВК и высота ВF треугольника СBN лежат на одной прямой. (Вершины квадратов перечислены против часовой стрелки).
Пример 14 (векторный метод). Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.