В конструктивных задачах на построение требуется построить геометрический объект по данным условиям.
Задача называется определенной, если данные условия являются необходимыми и достаточными для определения искомой фигуры. Она может иметь одно и более решений.
Задача является неопределенной, если дано меньше условий, нежели необходимо для определения фигуры.
Аксиомы конструктивной геометрии
Решить задачу на построение – значит свести еѐ к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:
- Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).
- Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.
- Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).
- Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).
- Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).
Сведение решения каждой задачи к элементарным построениям делает решение громоздким. Поэтому решение задачи сводят к основным построениям:
— деление данного угла пополам;
— построение отрезка, равного данному;
— построение угла, равного данному;
— построение параллельной прямой;
— построение перпендикулярной прямой;
— деление отрезка в данном отношении;
— построение треугольника по трем сторонам;
— построение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
— построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам;
— построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
Решить задачу на построение – значит найти все еѐ решения!!!
Этапы решения задач на построение
При решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов:
- Анализ. Это подготовительный этап решения задачи на построение, который дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру.
- Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.
- Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.
- Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого–либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещѐ выяснить следующие вопросы:
1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;
3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.
Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью ставить условия разрешимости и определить число решений.
Методы решения задач на построение
Метод геометрического места точек
Методика работы с задачей на построение
Задача № 1. Постройте треугольник по стороне, прилежащему
к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины
этого угла [Е.И. Малова, учебник, с. 210].
I этап. Анализ задачи
— С чего начинается работа над задачей на построение?
— С анализа задачи.
— С чего начинается анализ задачи?
— Предполагаем задачу решенной, делаем чертеж и наносим
данные на чертеж (рис. 1):
— Каким методом будем решать задачу? (Этот вопрос задает
ся, если к моменту предъявления задачи их было несколько.
В противном случае задается вопрос: «Есть ли треугольник, кото
рый можно построить?»)
— Методом вспомогательного треугольника, так как из рисунка
видно, что треугольник ADВ можно построить по двум сторонам
и углу между ними.
— Выделите вспомогательный треугольник (рис. 2). Если по
строим вспомогательный треугольник ADВ, то какие вершины
искомого треугольника будут определены, а какие останется по
строить?
— Будут определены вершины А и В, останется построить
вершину С.
— Итак, какую точку выберем за искомую?
— Точку С.
— Что делают дальше при анализе задачи?
— Выбирают два условия, которым должна удовлетворять иско
мая точка.
— Назовите условия, которым удовлетворяет искомая точка С?
— 1) Точка С лежит на луче ВD,
2) ∠ВАС = α.
— Какой вывод нужно сделать из выделенных условий?
— Нужно определить фигуры, на которых лежит искомая точка С.
— Назовите эти фигуры.
— Из первого условия – это луч ВD, а из второго – луч АК,
такой, что ∠КАВ = α.
— Итак, назовите план построения.
— 1) построим ΔADВ; 2) построим луч АК; 3) построим точку С.
III этап. Доказательство
(можно проводить устно)
АВ = b (по построению 1);
AD — биссектриса (по построениям 1 и 2);
АD = bα (по построению 1);
∠ВАС = α (по построениям 2 и 3).
Значит, ΔАВС — искомый
IV этап. Исследование
Исследование проводим, анализируя каждый шаг построения:
1) Вспомогательный треугольник строится по двум сторонам
и углу между ними, значит, его всегда можно построить при усло
вии, что данный угол меньше 180°; если пренебречь положением
треугольника на плоскости, то такой треугольник единственный.
2) От данной стороны в заданной полуплоскости можно отло
жить единственный угол, равный данному.
3) Два луча АК и ВD могут пересечься, если они не являются
параллельными и не расходятся.
Рассмотрим первый случай (АК || ВD).
Список использованной литературы