Первое знакомство с тригонометрическими функциями
происходит на уроках геометрии, при рассмотрении прямоугольно-
го треугольника. Вначале рассматриваются только синусы и косинусы острых углов, а углы измеряются в градусах.
Уже на этом этапе первого знакомства и первых определений
доказывается и первая формула тригонометрии, которая носит торжественное имя –– основное тригонометрическое тождество:
Дальнейшее расширение определения синуса и косинуса –– это
определение тригонометрических функций тупых углов.
Таким образом рассматриваются синусы и косинусы тупых углов, при этом ясно, что первоначальное определение –– через прямоугольный треугольник –– становится частным случаем нового.
Предыдущее определение становится частным случаем нового,
охватывающего больший диапазон углов. Из нового определения
также следуют свойства:
Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.
Предостережение. Является ошибкой утверждение, что 180 градусов равно π радиан. Но можно сказать, что угол, измеряемый 180 градусами, равен углу, измеряемому числом π радиан. Напомним, кстати, что радиан не является размерностью, как секунда,
метр, килограмм, но лишь напоминанием, что в данном случае рассматривается не просто число, а мера угла. Теперь, после того как мы вспомнили некоторые важные вехи изучения тригонометрии, перейдём к следующему шагу –– расширению определения тригонометрических функций произвольного угла до определения тригонометрических функций произвольного числа.
Итак, рассмотрим числовую прямую и разобьём её на отрезки
длины 2π каждый, начиная от нулевой точки вправо и влево. Рас-
смотрим произвольное фиксированное число a. Это число обязательно попадёт на один из отрезков нашего разбиения, причём левый конец этого отрезка будет числом 2πn, где n –– некоторое целое
число (в чём смысл этого числа?), а правый конец –– числом вида
2π(n+1). Обозначим расстояние от левого конца отрезка разбиения до числа a буквой α, заметим, что
Задания для учащихся, обязательное для выполнения: вначале нарисовать тригонометрический круг и заполнить таблицу.
| градусы | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | ||
| радианы | \(\frac{\pi }{8}\) | ||||||||
| числа | 0.26 | ||||||||
| sin a | 0.25 | ||||||||
| cos a | |||||||||
| tg a | |||||||||
| ctg a |
РАЦИОНАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ
ТРЕФИЛОВА Г.А. Математика в школе 2008 № 10
